线性代数 张培龙 2013代数几何CH1-3.pptVIP

第三节 行列式的性质及计算（续） 第四节 克拉默(Cramer)法则 * * 一 n 阶行列式的性质 推论 如果行列式有两行（列）完全相同，则行列式为零. 性质1.1 行列式与它的转置行列式相等. 性质1.2 互换行列式的两行（列），行列式变号. 性质1.3 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一常数k，等于用数k乘此行列式. 推论1 行列式中某一行（列）的所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面. 推论2 行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式等于零. 推论3 行列式中某一行（列）元素全为零，则此行列式等于零. 一 n 阶行列式的性质 性质1.1 行列式与它的转置行列式相等. 性质1.2 互换行列式的两行（列），行列式变号. 性质1.3 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一常数k，等于用数k乘此行列式. 性质1.4 若行列式的某一行（列）的元素都是两数之和，则此行列式等于两个行列式之和. 性质1.5 行列式的某一行（列）的各元素乘以同一数然后加到另一行（列）对应的元素上去，行列式不变. 一 n 阶行列式的性质 解 一 n 阶行列式的性质 结论 二 行列式按行(列)展开 元素的代数余子式： n 阶行列式中，划去元素aij所在的第i行与第j 列， 又记 ， 称做元素aij的代数余子式. 例如 行列式 中， 元素x 的余子式为 代数余子式为 剩下的元素按原来的相对位置所排成的n-1 阶行列式， 叫做原行列式中元素aij的余子式，记作 二 行列式按行(列)展开 引理 ：一个n阶行列式D，如果其第i 行所有元素除aij外都为零，那末这行列式D就等于aij与它的代数余子式的乘积，即 说明 二 行列式按行(列)展开 性质1.6 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其代数余子式的乘积之和，即 该性质又称为行列式的按行(列)展开法则. 实现了n 阶行列式到n-1阶行列式的（降阶）转换； 在实际应用中，常常选取零元素较多的一行或列， 按该行或列施行展开，达到降阶、简化计算的目的。 意义 说明 降阶法 ： 利用行列式按行（列）展开法则降阶，把它降为较低阶的行列式，然后求解；通常此法需结合化简性质运用。 二 行列式按行(列)展开 性质1.6 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其代数余子式的乘积之和，即 性质1.7 行列式的任一行（列）的各元素与另一行（列）对应元素的代数余子式的乘积之和等于0，即 公式： 二 行列式按行(列)展开 例2 计算 按第１列展开 按 第３行展开 =30. 解 二 行列式按行(列)展开 例3 二 行列式按行(列)展开 例3 三 归纳法在行列式中的应用 归纳法： 通过降阶法建立起行列式与其同形的较低阶的行列式的关系式--------递推关系式，然后由递推关系式求解其值。 证明范德蒙德（Vandermonde）行列式 例4 说明 ： 范德蒙德行列式的结论是个重要结论，可以直接运用 三 归纳法在行列式中的应用 范德蒙德（Vandermonde）行列式的另一种形式 含有n个未知量n个方程的线性方程组 系数行列式记为D 克拉默(Cramer)法则 【克拉默法则】若线性方程组(13)的系数行列式， 则存在唯一解. (13) 克拉默(Cramer)法则 关于线性方程组 当线性方程组右端的常数项 不全为0时, 线性方程组(13)叫做非齐次线性方程组. (13) 当线性方程组右端的常数项 全为0时, 线性方程组(13)叫做齐次线性方程组. (21) 克拉默(Cramer)法则 一定是(21)的解, 这个解叫做齐次线性方程组(21)的零解. 如果一组不全为零的数是(21)的解, 则这个解叫做齐次线性方程组(21)的非零解. (21) 【定理1.5】若齐次线性方程组(21)的系数行列式 则该齐次线性方程组(21)没有非零解，即只有零解. 等价命题 如果齐次线性方程组（21)有非零解，则该齐次线性方程组的系数行列式必为零。 克拉默(Cramer)法则 例2 问λ为何值时，齐次线性方程组 有非零解? 分析 如果齐次线性方程组有非零解，则系数行列式D=0。 由于D = 0 克拉默(Cramer)法则 １、如果非齐次线性方程组(13)的系数行列式  则(13)一