线性代数 张培龙 2013代数几何CH2-1.pptVIP

第 二 章 矩阵及其运算 一、矩阵的概念 一、矩阵的概念 一、矩阵的概念 二、矩阵的运算---1、矩阵的加法 二、矩阵的运算---2、矩阵与数的乘法 二、矩阵的运算---3、矩阵的乘法 二、矩阵的运算---3、矩阵的乘法 二、矩阵的运算---3、矩阵的乘法 二、矩阵的运算---3、矩阵的乘法 二、矩阵的运算---3、矩阵的乘法 二、矩阵的运算---3、矩阵的乘法 第二节 逆矩阵 第一节 矩阵及其运算 线性方程组 的解取决于 系数 常数项 对线性方程组的研究可转化为对这张表的研究. 线性方程组的系数与常数项按原位置可排为 不止是数学本身，而且在自然科学和社会科学中，经常通过数表来表达各种量相互间的联系.这个数表，我们称为矩阵. 由m×n个数排成的m行n列数表 【定义2.1】 称为一个m×n型矩阵, 通常用黑体大写字母表示，可简记为 A = (aij)m?n 或 A = (aij) ， 其中, aij 称为矩阵第 i 行第 j 列的元素. 注意了: 1)当m = n 时, 矩阵称为方阵; 2)当两个矩阵A与B的行数与列数相同时称其为同型矩阵; 3)两个同型矩阵对应元素相等时称为相等矩阵,记为A=B; 4)当一个矩阵的元素全为零时称为零矩阵,记为O; 5) －A= (－aij)m?n称为矩阵A的负矩阵. 矩阵与行列式的有何区别? 矩阵与行列式有本质的区别，行列式是一个算式，一个数字行列式经过计算可求得其值，而矩阵仅仅是一个数表，它的行数和列数可以不同. 特型矩阵 列矩阵 行矩阵 对角矩阵 单位矩阵E或En 上三角矩阵 下三角矩阵 一、矩阵的概念 【定义2.2】 设A = (aij)m?n 与B = (bij)m?n 是同型矩阵, 则 矩阵(aij+bij)m?n称为矩阵A与B的和,记为 A + B. 注: 1)A－B定义为A+(－B); 2)矩阵A与B是同型矩阵时, A+B才有意义; 3)矩阵的加法满足交换律与结合律. 【定义2.3】设A =(aij)m?n，k是一个实常数, 规定k与A的 乘积为矩阵(kaij)m?n, 记为 kA 或 Ak. 注: 1) 数乘矩阵与数乘行列式的区别; 2) 运算规律. 【定义2.4】 设A =(aij)m?r、B =(bij)r?n，规定A与B的乘积 是一个矩阵C =(cij)m?n，其中 记为C = AB. 第一个矩阵的列数 = 第二个矩阵的行数 注意了 例1 设 求：AB. 解 AB= 练习 例2 解 1)一般地,矩阵乘法不满足交换律，即AB≠BA； 2)由AB=O 得不出A= O 或B= O. 3)矩阵乘法不满足消去律，即由AB =AC , A ≠O, 得不出B=C. 方程组 令矩阵 则上述方程组可表为: AX = b. 运算规律 (其中λ为数); (5)若A是n阶方阵，则Ak为A的k次幂，即 一般情况下( AB )k ≠ Ak Bk. 练习 【定义2.5】把矩阵 A 的行换成同序数的列而得到的新矩阵, 叫做矩阵 A 的转置矩阵,记为 AT. 1) AT 第 i 行第 j 列元素恰是 A 第 j 行第 i 列元素; 2) 若AT= A称A为对称矩阵;若AT= －A称A为反称矩阵; 二、矩阵的运算---4、矩阵的转置 3)矩阵的转置运算有下列性质: 则行列式: 记作det A或|A| . 二、矩阵的运算---5、方阵的行列式 为矩阵A的行列式. 例4 已知三阶方阵A，|A|= 2, 计算行列式: 解: A是三阶方阵, 所以， 二、矩阵的运算---5、方阵的行列式 运算性质 注意: 一般情况下AB≠BA,但|AB|=|BA|. 在矩阵乘法中，有没有X = B A-1 ？ 已知矩阵A =(aij)m?m、B =(bij)m?n，且AX=B，求X = ？ 在关于数的方程中，若已知ax = b（a? 0），则x = b a -1. 问题? 作 业 P37 1, 2, 3(2,3,5), 4, 5(2) P66 3, 5(1,2)