线性代数 张培龙 2013代数几何CH2-2.pptVIP

第二节 逆矩阵 一、逆矩阵的定义 一、逆矩阵的定义 一、逆矩阵的定义 第三节 分块矩阵及其运算 作 业 复习 设 f (x)=ax2+bx+c，A为n阶矩阵，E为n阶单位矩阵. 定义 f (A)=aA2+bA+cE. 已知 f (x) = x2－2x + 2，A= ，求f (A). 解 【定义2.6】设A为n阶方阵,若存在n阶方阵B,使 AB = BA = E 则称A是可逆矩阵, 称B为A的逆矩阵,记为A-1. 如：由EE = E 知，单位矩阵 E 可逆，所以 E -1 = E. 如：当k1, k2, …, kn都不为零时 =E 所以 【定义2.6】设A为n阶方阵,若存在n阶方阵B,使 AB = BA = E 则称A是可逆矩阵, 称B为A的逆矩阵,记为A-1. 注：1）可逆矩阵是在方阵中定义的； 2）若方阵A有逆矩阵，则其逆是唯一的. 若设B 和 C 是 A 的逆矩阵， 则有 可得 所以A的逆矩阵是唯一的,即 (1)??若A是可逆的,则A-1也可逆,且(A-1)-1=A； 证 仅给出（2）的证明. 因为 所以由定义知：(AB )可逆,且( AB )-1 = B-1A-1. (B-1A-1 )(AB) =B-1(A-1A)B=BE B-1=B B-1=E (AB)(B-1A-1)=A（BB-1）A-1=AE A-1=A A-1=E 逆矩阵的运算性质 (2)? 若B与A是同阶可逆矩阵,则(AB)也可逆,且(AB)-1=B-1A-1； (3)???若A可逆,数k≠0则kA也可逆, 且 (4)???若A可逆,则AT也可逆,且(AT )-1 = (A-1 )T； (5)???|A-1|=|A|-1. 二、伴随矩阵的定义 定义 行列式|A|的各个元素的代数余子式Aij ，所构成的 如下矩阵. 称为矩阵A的伴随矩阵.记为A?或adjA 注意，下标的排列顺序！ 6 －4 －3 －6 5 2 2 －2 二、伴随矩阵的定义 【引理2.1】设A是n阶方阵，则 证 同理可得， 故有 三、方阵可逆的充要条件 【定理2.2】设A是n阶方阵，则A可逆的充要条件是|A|?0. 证 必要性 设A是可逆矩阵， 从而 充分性 可得A可逆， 当|A| ? 0时，有 注:1) 若A与B都是方阵, 只要满足AB=E或BA=E之一,则可断 定A可逆,并有A-1=B. 三、方阵可逆的充要条件 解 解 三、方阵可逆的充要条件 例3 已知AP=PB，其中 求 A及A5. 解 A5 三、方阵可逆的充要条件 例4 求满足矩阵方程 AX=B的矩阵X, 其中 解： 故A可逆， 三、方阵可逆的充要条件 注 1)在方程的两端同乘一矩阵时，要么都左乘，要么都右乘. 2)若矩阵方程为AXB=C,其中矩阵A与B是可逆方阵,则 X = A-1CB-1. 三、方阵可逆的充要条件 将矩阵A用若干条纵线和横线分成许多小矩阵, 每个小矩阵称为A的一个子块. 以这些子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵. 例如矩阵: 记为 其中 一、分块矩阵的概念 设矩阵A与B是同型矩阵,且分块如下: 注:矩阵A与B有相同的分块法 二、分块矩阵的运算 1.分块矩阵的加法与数乘 设矩阵Am×p, Bp×n,它们分别分块如下: 其中对A的列的分法与对B的行的分法完全一致. 矩阵A与B的乘积AB: 二、分块矩阵的运算 2.分块矩阵的乘法 设矩阵A分块如下: 分块矩阵的转置 二、分块矩阵的运算 3.分块矩阵的转置 称为准对角矩阵. 当Ai (i =1,2, …，s）都是方阵时， 二、分块矩阵的运算 4. 准对角矩阵 二、分块矩阵的运算 4. 准对角矩阵 当A1 , A2 ,…,AS都是方阵,且 时,A可逆. P42 1(3) ;2(2) ; 4 ; 5 P66 7 P49 2(1,2);3