线性代数 张培龙 2013代数几何CH2-4.pptVIP

1、初等矩阵的概念 2、初等矩阵的性质 2、初等矩阵的性质 2、初等矩阵的性质 三、用初等变换求逆矩阵 三、用初等变换求逆矩阵 三、用初等变换求逆矩阵 * * * * 第五节 初等矩阵 复习 一、矩阵的满秩 若矩阵的秩等于矩阵A的行（列）数，则称A为行（列）满秩矩阵； 若方阵A的秩等于A的阶数，则称矩阵A为满秩矩阵. 矩阵秩的性质 一、矩阵的满秩 证 一、矩阵的满秩 【定义2.9】由单位矩阵经一次初等变换而得到的矩阵 称为初等矩阵. 初等矩阵分为三类, Eij : 单位矩阵E对调第 i，j 两行（列）, Ei(k)：单位矩阵E的第i行（列）的元素乘以数k, Eij(k)：单位矩阵E的第j行(第i列)乘以数k加到第i行(第j列). 二、初等矩阵及其性质 分别记为Eij、Ei(k)、Eij(k), E23= E3(k)= E12(k)= 二、初等矩阵及其性质 1）初等矩阵都是可逆矩阵,并且初等矩阵的逆矩阵还是初 等矩阵, ?2） 初等矩阵的转置还是初等矩阵， 3）对A施行一次初等行变换的结果等于用一个相应的初等 矩阵左乘矩阵A; 对A施行一次初等列变换的结果等于用 一个相应的初等矩阵右乘矩阵A. 【定理2.4】矩阵A可逆的充要条件是: 存在有限个初等 矩阵P1，P2，…,Pl，使A =P1P2 … Pl . 证 二、初等矩阵及其性质 【定理2.4】矩阵A可逆的充要条件是: 存在有限个初等 矩阵P1，P2，…,Pl，使A =P1P2 … Pl . 【推论3】设A是可逆矩阵, 则A可以只经过初等行变换 化成单位矩阵E. 【推论1】两个m×n型矩阵A、B等价的充要条件是:存在 m 阶可逆矩阵P 及 n阶可逆矩阵Q, 使 PAQ = B. 【推论2】设A是m×n矩阵, P是m阶可逆矩阵，Q是 n阶可逆矩阵.则R(PA)=R(AQ)=R(PAQ)=R(A) 这表明,只经过初等行变换便可将A化成单位矩阵. ∵A可逆, ∴A-1也可逆, 存在初等矩阵P1,P2,…,Ps,使 A-1= P1P2…Ps 于是有 A-1A=P1P2…PsA=E 二、初等矩阵及其性质 证 得 : P1P2…PsA=E P1P2…PsE=A-1 设A是n阶可逆矩阵, 则A-1也可逆, 从而存在初等矩阵P1,P2,…,Ps 由 A-1A=E; A-1E= A-1; A-1 =P1P2…Ps 结论:若经过一系列初等行变换将A化成单位矩阵E时,则施行同样的一系列的初等行变换把单位矩阵E化成了逆矩阵A-1. 方法: 例1 求A的逆矩阵,其中 解 例1 求A的逆矩阵,其中