线性代数 张培龙 2013代数几何CH3-2.pptVIP

第二讲 向量组的线性相关性(2) 向量组的秩(1) 知识要点回顾 二、线性相关性的判定 二、线性相关性的判定 二、线性相关性的判定 等价的推论1 * * 线性组合 线性表示 存在一组不全为0的数k1，k2，…，km，使 线性相关 线性无关 仅当k1= k2= … = km= 0，才有 性质3.2 向量组α1,α2 ,…,αm ( m ≥ 2)线性相关的充要条件是 充分性 不妨设αm可由α1,α2 ,…,αm－1线性表示， k1,k2,…,km-1,-1中至少-1不为0,所以α1,α2 ,…,αm线性相关. α1,α2 ,…,αm中至少有一个向量可由其余m－1个向量线性表示. 性质3.1 只含有一个向量α的向量组线性相关的充要条件是α= 0. 即存在一组数k1，k2，…，km-1 证 必要性 则存在不全为0的数k1, k2, …, km，使 不妨设k1≠0, 则有 即?1可由其余m－1个向量线性表示. 一、线性相关性的性质 性质3.2 向量组α1,α2 ,…,αm ( m ≥ 2)线性相关的充要条件是 α1,α2 ,…,αm中至少有一个向量可由其余m－1个向量线性表示. 性质3.1 只含有一个向量α的向量组线性相关的充要条件是α= 0. 一 、线性相关性的性质 性质3.3 若向量组的某一个部分组线性相关，则此向量组一定 线性相关. 等价命题：若向量组线性无关，则它的任何部分组都线性无关. 性质3.4 向量组α1,α2 ,…,αm线性无关,而向量组α1,α2 ,…,αm,β线性相关，则β可由α1,α2 ,…,αm线性表示，且表示方法唯一. 一 、线性相关性的性质 证明 如果k = 0，则有不全为0的数k1，k2，…，km，使 性质3.4向量组α1,α2 ,…,αm线性无关,而向量组α1,α2 ,…,αm,β线性相关，则β可由α1,α2 ,…,αm线性表示，且表示方法唯一. 表示法唯一的证明，略. 一 、线性相关性的性质 解 法1 ： 法2： ∴存在不全为0的数k1, k2 ,…,km-1 如果k1= 0，则有 这与α2, α3, …,αm线性无关矛盾, 因此, 一 、线性相关性的性质 解（2） 即存在数 k1 , k2 ,…, km-1 由(1)知 代入上式得 从而α2,α3，… ,αm线性相关，矛盾. 假设αm能由α1, α2,…, αm-1 线性表示， 则A的列向量组 线性无关的充要条件是R(A)=m,即A的秩等于A的列向量的个数. 定理3.1 设有n×m型矩阵 此定理刻画了向量组线性无关性与矩阵秩之间的联系. 定理3.1 刻画了向量组线性无关性与矩阵秩之间的联系. 特别 当A为m阶方阵时， n 维单位坐标向量组 e1 = (1,0,…,0)T, e2 = (0,1,…,0)T, …, en = (0,0,…,1)T 线性无关. 解 例2. 推论1′若r + s 维向量组线性相关，那么在这个向量组的每个向量上去掉s 个分量，得到的r 维向量组仍线性相关。 若向量组所含向量的个数大于向量的维数， 等价的推论2 二、线性相关性的判定 讨论下列矩阵的列向量组的线性相关性. 则向量组一定线性相关. 线性无关 线性相关 线性无关 三、最大线性无关组 【定义3.13】设A是n 维向量组,在A中选取 r 个向量?1,?2,…,?r， 如果满足 （1）?1，?2，…，?r 线性无关； （2）任取?∈A，总有?1，?2，…，?r，? 线性相关. 则称向量组?1，?2，…，?r为向量组的一个最大线性无关向量组（简称最大无关组）. 说明 若向量组?1，?2，…，?s线性无关，则?1，?2，…，?s是自己的最大无关组. 1、一个向量组与它自己的任一最大无关组总是等价的. 2、向量组的任意两个最大无关组是等价的. 三、最大线性无关组 【定义3.13】设A是n 维向量组,在A中选取r个向量?1,?2,…,?r， 如果满足 （1）?1，?2，…，?r线性无关； （2）任取?∈A，总有?1，?2，…，?r，? 线性相关. 则称向量组?1，?2，…，?r为向量组的一个最大线性无关向量组（简称最大无关组）. 因为?1，?2线性无关，且?3 = ?1－?2, 例 找出向量组 向量组的最大无关组一般不唯一. 的最大无关组. 同理?1，?3和?2，?3也都是?1，?2，?3的最大无关组. 所以?1，?2是向量组?1，?2，?3的一个最大无关组.