线性代数 张培龙 2013代数几何CH3-3.PPTVIP

第三讲 向量组的秩（2）  向量空间 一、向量空间 一、向量空间 一、向量空间 一、向量空间 一、向量空间 一、向量空间 一、向量空间 一、向量空间 一、向量空间 一、向量空间 一、向量空间 一、向量空间 * * * * 要点回顾 最大无关组的概念：最大性、线性无关性． 矩阵的秩与向量组的秩的关系： 　矩阵的秩＝矩阵列向量组的秩＝矩阵行向量组的秩 求向量组的秩以及最大无关组的方法： 将向量作为列向量构成一个矩阵，然后进行初等行变换， 化成行阶梯矩阵. 例1. 解 要点回顾 要点回顾 例1. 对于向量集合 1、向量空间的概念 任意元素? = (0, a2,…,an)T, ? = (0, b2, …,bn)T及任意实数 k， ? +? = ( 0, a2+ b2, …, an+ bn )T k? = (0, ka2, …, kan )T 这时称集合V关于向量的加法及数乘运算是封闭的. 【定义3.15 】设V是n维向量构成的非空集合，如果满足 （1）?若??V，? ?V，则? +? ?V； （2）?若??V，k ?R，则k??V， 则称集合V是一个向量空间. ∈V ∈V 1、向量空间的概念 试判断集合是否为向量空间. 例2. 解 2、子空间 【定义3.16 】 设V1及V2都是向量空间，若V1?V2，则称V1 是V2的子空间. 全体 n 维向量的集合是一个向量空间,记作Rn . n 维向量组成的向量空间V 总是R n的子空间 . 练习P100 1 n 维零空间{0}是任何由n维向量组成的向量空间V的子空间. 练习P100 1(1) 练习P100 1(2) 3、向量空间的基与维数 对于一个向量组A，若知一个最大无关组，则A中任意一个向量均可由这个最大无关组线性表示， 【定义3.17 】设V为向量空间，如果 r 个向量?1, ?2, … ,?r ?V， 且满足 （1）?1，?2，…，? r 线性无关； （2）V 中任一向量都可由?1，?2，…，? r线性表示， 那么，向量组?1，?2，…，?r 就称为向量空间V 的一个基， r 称为向量空间V的维数，并称V为r 维向量空间. 从而向量组A的结构一目了然. 那么在向量空间中是否存在这样的向量组，它能否 起到类似于向量组的最大无关组所起的作用？ 3、向量空间的基与维数 若把向量空间V看作向量组，则V的基就是向量组的最大线性无关组，V的维数就是向量组的秩. 只含有零向量的向量空间称为0维向量空间，它没有基． 如n维单位坐标向量组 e1 = (1,0, …,0)T，e2 = (0,1, …,0)T ，…，en = (0,0, …,1)T 是R n的最大无关组，所以e1，e2，…，en 是R n的一个基，并且R n的维数是n，称e1，e2，…，en为R n的自然基. 3、向量空间的基与维数 例3 求由向量?1= (1,-1,2,4)T, ?2= (0,3,1,2)T, ?3= (3,0,7,14)T，?4=(1,-1,2,0)T, ?5=(2,1,5,6)T所生成的向量空间的一个基及其维数. 解 设 ?1, ?2, ?4为一个最大无关组, 因此,所生成的向量空间以?1，?2，?4为一组基, 其维数为3. 注：向量空间中的向量的维数与向量空间的维数不一定相等. 对A作初等行变换 4、向量的坐标 【定义3.18 】 设V是r 维向量空间, ?1, ?2, …, ?r 是V的一个基， 对任意??V，有xi ? R，i = 1, 2, …, r 使 ? = x1?1 + x2?2 + … + xr?r 称这组数x1, x2 ,… , xr 为? 在基?1, ?2, …, ?r下的坐标，记为 ( x1, x2 ,… , xr ). 例4 向量组?1=(1,1,1,0)T,?2=(0,1,1,1)T,?3=(0,0,1,1)T, ?4=(0,0,0,1)T及向量? =(1, –2, 3, 1)T. 验证?1, ?2, ?3, ?4 是 R4的一个基, 并求? 关于这个基的坐标. ∴?1, ?2, ?3, ?4 是 R4 的一个基. 4、向量的坐标 例4 向量组?1=(1,1,1,0)T,?2=(0,1,1,1)T,?3=(0,0,1,1)T, ?4=