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* * 第五章 线性方程组 第一节 线性方程组有解的充要条件 第二节 线性方程组解的结构 1.解向量的概念 线性方程组 一 线性方程组有解的充要条件 1.解向量的概念 线性方程组 一 线性方程组有解的充要条件 2.线性方程组有解的判定条件 一 线性方程组有解的充要条件 定理5.1 定理 (1) 无解 ? R(A) R(A, b) (2) 有唯一解 ? R(A) = R(A, b) = n (3) 无穷多解 ? R(A) = R(A, b) n 定理 (1) 只有零解 ? R(A) = n (2) 有无穷多非零解 ? R(A) n 2.线性方程组有解的判定条件 一 线性方程组有解的充要条件 (1) 无解 ? R(A) R(A, b) (2) 有唯一解 ? R(A) = R(A, b) = n (3) 有无穷多解 ? R(A) = R(A, b) n 1.齐次线性方程组解的性质 二 齐次线性方程组解的结构 齐次线性方程组 （1）若ξ1,ξ2是齐次线性方程组Ax = 0的解, 则ξ1+ξ2也是Ax = 0的解; （2）若ξ是齐次线性方程组Ax = 0的解, ??则对任意实数k, kξ也是Ax = 0的解. 方程组的全体解向量所组成的集合, 对于加法和数乘运算是 封闭的，因此构成一个向量空间，称此向量空间为齐次线性 方程组Ax = 0的解空间． 二 齐次线性方程组解的结构 说明： 2.基础解系的定义 如果 二 齐次线性方程组解的结构 3.基础解系的求法 设齐次线性方程组的系数矩阵为A, 不妨设A的前 r 个列向量线性无关，则A可化为 二 齐次线性方程组解的结构 3.基础解系的求法 现对 取下列 组数： 依次得 二 齐次线性方程组解的结构 3.基础解系的求法 从而求得原方程组的n – r个解： 说明 1．基础解系不唯一． 2．如果系数矩阵的秩为r, 则基础解系含有n – r个向量． 基础解系 二 齐次线性方程组解的结构 3.基础解系的求法 一般情况下，求解齐次线性方程组Ax = 0分以下几步： (1)对系数矩阵A施行初等行变换化为行最简矩阵； (2)由行最简矩阵写出对应的同解方程组； (3)求同解方程组的基础解系与通解,从而得出原方程组的通解. 二 齐次线性方程组解的结构 3.基础解系的求法 例2. 解线性方程组 解 方程组有无穷多解， 基础解系中有3个向量.
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