线性代数 张培龙 2013代数几何CH6-2.pptVIP

* * 第一节 特征值与特征向量 第二节 相似矩阵 【性质6.1 】设 n 阶方阵 A =(aij) 的 n 个特征值为?1, ?2,…, ?n, 则 求特征值、特征向量的步骤 1、由特征方程| A-?E| = 0求A的特征值? . 2、对特征值? ，解方程组(A-? E ) x = 0，求特征向量. 一. 方阵的特征值与特征向量的概念 例1 求矩阵A的特征值与特征向量, 解 A 的特征多项式为 ∴A 的特征值为 是对应于?1 =2 的全部特征向量. 一. 方阵的特征值与特征向量的概念 是对应于?2 = ?3 =1 的全部特征向量. 例1 求矩阵A的特征值与特征向量, 证 一. 方阵的特征值与特征向量的概念 例2 设 A2 = A , 证明: A 的特征值为0 或1 . 例3 设λ是方阵A的特征值，证明λ2是A2的特征值. 证 ∴ 例4 设λ是可逆方阵A的特征值，证明λ-1是A -1的特征值. 证 ∴ λ2是A2的特征值. ∴ λ-1是A-1的特征值. 二. 方阵的特征值与特征向量的性质 【性质6.2 】 A与AT有相同的特征值. 结论： 若λ是A的特征值，则 (1)λk是Ak的特征值； ? 二. 方阵的特征值与特征向量的性质 【定理6.1】 注意啦！ 1、属于不同特征值的特征向量是线性无关的. 3、矩阵的特征向量总是相对于矩阵的特征值而言的， 一个特征值对应的特征向量不唯一. 2、一个特征向量不能属于不同的特征值． 三. 相似矩阵的概念 【定义6.2】 设 A、B 都是 n 阶矩阵，若有可逆矩阵 P , 使 则称 B 是 A 的相似矩阵， 或说矩阵 A 与 B 相似, 称为对 A 进行相似变换， P 称为把 A 变成 B 的相似变换矩阵. 对A进行运算P -1AP, 矩阵的相似，具有性质：反身性; 对称性; 传递性. 记作A~B. 　　这种变换的重要意义在于简化对矩阵的各种运算，其方法是先通过相似变换，将矩阵变成与之等价的对角矩阵，再对对角矩阵进行运算，从而将比较复杂的矩阵的运算转化为比较简单的对角矩阵的运算． A 与 B 相似 且A-1与B-1也相似. 3.若A与B相似，且A可逆，则B也可逆， 则f (A)与f (B)也相似. 设f (x)是一个一元多项式， 4.若A与B相似， 【性质6.3 】 1.若A与B相似，则|A|=|B|. 四. 相似矩阵的性质 【定理6.2 】 若矩阵 A 与 B 相似, 则 A 与 B 的特征多项式相同, 从而 A 与 B 的特征值也相同. 证 ∵ A 与 B 相似， ∴有可逆矩阵 P， 使 四. 相似矩阵的性质 【推论】 若 n 阶矩阵 A 与对角矩阵 则 即是 A 的 n 个特征值. 相似， 五.方阵的相似对角化问题 假设已经找到可逆矩阵 P， 使 P 应满足什么关系？ 而 P 的列向量pi 就是 A 的对应于 可见λi 是 A 的特征值， 特征值λi的特征向量. 反之， A 恰好有 n 个特征值， 并且可对应求得 n 个特征向量 这 n 个特征向量即可构成矩阵 P， 使得 问题： 如何求矩阵 P 使得 （把方阵 A 对角化）？ 【定义6.3】若方阵A能与一个对角矩阵Λ相似，则称A可以 相似对角化. 五.方阵的相似对角化问题 【定义6.3】若方阵A能与一个对角矩阵Λ相似，则称A可以 相似对角化. 【推论】 若 n 阶矩阵 A 的 n 个特征值互不相等， 则A 与对角矩阵相似. 【定理6.3 】