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* * * * 第三节 实对称矩阵及其对角化 一、实对称矩阵的特征值与特征向量 【性质6.4 】 (1) 对称矩阵的特征值为实数. 【定理6.4 】 二、实对称矩阵的正交相似对角化 对称矩阵对角化的步骤： 二、实对称矩阵的正交相似对角化 例1 设 求一个正交矩阵 P, 使 为对角矩阵. 解 得特征值 当 时， 得基础解系 将其单位化得单位特征向量 二、实对称矩阵的正交相似对角化 当 时， 得基础解系 两向量恰好正交， 继续单位化 例1 设 求一个正交矩阵 P, 使 为对角矩阵. 二、实对称矩阵的正交相似对角化 当 时， 把它们规范正交化： 取 得基础解系 例1 设 求一个正交矩阵 P, 使 为对角矩阵. 二、实对称矩阵的正交相似对角化 再单位化，即得 于是 例1 设 求一个正交矩阵 P, 使 为对角矩阵. 二、实对称矩阵的正交相似对角化 例2 已知三阶实对称阵A的特征值为6, 3, 3, 是A对应于特征值6的特征向量,求A. 解 是对应3的特征向量，得 三、本章总结 特征值与特征向量 A的特征值和特征向量求解步骤: (1)求出特征方程的全部根, 即A的全部特征值 解系 (2)对每个求出的特征值λ ,求出方程组 即是A的对应于? 的全部特征向量 即为A对应于?的全部线性无关的特征向量， 而 的基础 (其中ki不全为零 ). 方阵A的不同特征值对应的特征向量一定线性无关. 三、本章总结 矩阵相似 相似矩阵有相同的特征值, 相同的特征多项式，相同的行列 式, 相同的的秩. n 阶方阵A与对角阵相似 实对称矩阵的相似对角化 A有n个线性无关的特征向量 A的r重特征值,对应r个线性无关的特征向量 三、本章总结 求x与y应满足的条件. 解 例1 设 三、本章总结 例2 设3阶方阵 A 的特征值为1，-1，2，求|A*+3A-2E|. 分析： 解 ∵A没有零特征值，∴A可逆， 故A*=|A| A-1 . 四阶方阵A满足 |3E+A|=0, AAT=2E,|A|0,求A*的一个特征值. 作 业 P178 1(2), 2 P182总 1, 2, 3, 4, 5, 6
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