线性代数 张培龙 2013代数几何CH7-1.PPTVIP

* * 第一节 二次型 第二节 化二次型为标准形 第七章 二 次 型 一、二次型的定义及其矩阵 称为n元二次型，简称二次型. 【定义7.1】 只含有平方项的二次型 称为二次型的标准形（或法式）． 例如 二次型 标准形 一、二次型的定义及其矩阵 对于二次型 一、二次型的定义及其矩阵 说明： 二次型 写出二次型的矩阵A，并求出二次型的秩. R(A)= 4， 二次型的秩为4. 二、矩阵的合同 方阵的合同性质: (1) 自反性； (2) 对称性； (3) 传递性. 设给定两个n阶方阵A和B，如果存在可逆矩阵P，使得 则称矩阵A与矩阵B合同，或A、B是合同矩阵. 说明： (1)矩阵P必须可逆; (2) 随着P的不同，与矩阵A合同的矩阵也不相同，即 合同矩阵不唯一; (3) 合同矩阵有相同的秩; (4) 任意实对称矩阵都与对角阵合同。 三、用正交变换化二次型为标准形 对于二次型 【定义7.3 】若P为正交矩阵，则线性变换x = P y 称为正交变换. 由定理6.4知，对给定的n阶实对称矩阵A，必存在n 阶 正交矩阵P ,使得 【定理7.1】 三、用正交变换化二次型为标准形 用正交变换化二次型为标准形的具体步骤 3、求对应于特征值的特征向量ξ1, ξ 2, …,ξn; 4、将ξ1,ξ 2 ,…,ξn 正交化、单位化，得 p1, p2 ,…, pn, 记P = ( p1, p2 ,…, pn ) (注意排列顺序,矩阵P不唯一） 1、写出二次型的矩阵A； 2、求出A的所有特征值λ1, λ2 ,…, λn ； 三、用正交变换化二次型为标准形 解 得特征值 三、用正交变换化二次型为标准形 三、用正交变换化二次型为标准形 解 得特征值 三、用正交变换化二次型为标准形 所求正交变换为 标准形为