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线性代数A模拟试卷一参考答案
一、(15分)填空题:
1.设,则
|A|= -9 , A*=,A-1=.
2.设4维向量α=(1,2,0,-3)T, β=(2,-1,5,0)T,则α与β的内积(α,β)= 0 ,
夹角α,β= 90o .
3.设矩阵
,,初等矩阵P满足:AP=B,则P=.
(A的第3列-第1列得B,所以P为E的第3列-第1列所得初等阵)
4. α1,α2,α3,α4均为3维向量,则向量组α1,α2,α3,α4必线性 相 关.
(ch3/Th7/推论2)
5.中的基到基的过渡矩阵,
为.
二、(15分)选择题:
1.设3阶行列式
则( B ).
(A);
(B)
(C).(ch1/行列式性质5)
2.设矩阵A的秩R(A)=r,则( B ).
(A)A中只有一个r阶子式不为零,其余的r阶子式全为零;
(B) A中存在一个r阶子式不为零,所有的r+1阶子式(若有)全为零;
(C) A中所有的r阶子式均不为零,而高阶子式全为零.
3. 设线性方程组
有唯一解,则( C ).
(A)a=1;(B)a=-2;(C)a≠1且a≠-2.
4.设 向量组α1,α2,…,αs线性相关,则( C ).
α1一定可由α2,α3,…,αs线性表示;
α1一定不可由α2,α3,…,αs线性表示;
(C) 其中至少有一个向量可由其余s-1个向量线性表示.
5.n阶方阵A与对角阵相似,则( C ).
(A)A有n个不同的特征值;(B) A有n个相同的特征值;(C) A有n个线性无关的特征向量.
三、(14分)设n维向量αT=(1/2,0,…,0,1/2),又A=E-ααT, B=E+2ααT,其中E为n阶单位矩阵,求AB,A-1,B-1,并写出A-1与B-1的具体形式.
解:AB=( E-ααT)(E+2ααT)= E-ααT+2ααT-2ααTααT
= E+ααT -2α(αTα)αT
αTα= ,∴AB= E+ααT -ααT=E.
A-1=B=
=
B -1= A =
=.
四、(16分)设向量组α1=(1,2,3,4)T, α2=(2,3,4,5)T, α3=(3,4,5,6)T, α4=(4,5,6,7)T,求由该向量组生成的向量空间L=L(α1, α2, α3, α4)的维数及一组基,并求其余向量在这组基下的坐标.
解:A=【α1, α2, α3, α4】
,dimL=R(A)=2,α1, α2为L的一组基,
∵α3= -α1+2α2,α4= -2α1+3α2.
∴α3在这组基下的坐标为-1,2;α4在这组基下的坐标为-2,3.
五、(14分)λ为何值时,下列线性方程组有唯一解?无解?无穷多解?若有无穷多解,求出全部解.
解:
= -(λ-1)2(λ-10).
1)当且,|A|0,方程组有唯一解
2)当λ=1,增广阵B=, x1=1-2x2+2x3,令,得通解=.
3)当λ=10,增广阵B=,.
R(A)=2,R(B)=3,系数阵与增广阵秩不相等,无解。
六、(18分)设二次型f=2x12+3x22+3x32+4x2x3.
1.写出f的矩阵;
2.求A的特征值与特征向量;
3.用正交变换X=QY将f化为标准形,并写出正交矩阵Q.
解:1. f的矩阵A=.
2.|λE-A|==(λ-1)(λ-2)(λ-5)=0.
得A的特征值1,2,5.
对λ=1,λE-A=,,基础解系,属于1的全部特征向量为c1,c1为任意非零常数;
对λ=2,λE-A=,,x1是自由未知量,基础解系,属于2的全部特征向量为c2,c2为任意非零常数;
对λ=5,λE-A=,,基础解系,属于5的全部特征向量为c3,c3为任意非零常数。
3. 是A的两两正交的特征向量,将其单位化,得A的两两正交的单位特征向量:,
Q=【q1 q2 q3】=为正交阵,且QTAQ ==Λ.
作正交变换X=QY,则f=XTAX= (QY)TA(QY)=YQTAQY= YTΛY=y12+2y22+5y32
七、(8分)证明:若为A正交矩阵,则A的伴随矩阵A*也为正交矩阵.
证:A*=|A|A-1,(A*)T A*=(|A|A-1)T |A|A-1=|A|2E=E.所以A*也为正交矩阵.
线性代数A模拟试卷2参考答案
一、(15分)填空题:
1.在4阶行列式det[aij]中,含有因子a11a32的项有:-a11a32 a23a44,a11a32 a43a24.
2. 矩阵的秩= 2 .
3.设A,B,C为可逆矩阵,分块矩阵
, 则.
4. 用矩阵形式表示二次型f=x12+x1x2+2x22+3x3
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