向量组线性相关性的判定方法.pptVIP

* * 向量组线性相关性的判定方法 主讲教师 黄娟霞讲师 1.观察法 利用已知结论可观察出一个向量组的线性相关性. 结论一：一个零向量线性相关；含有零向量的向量组线性相关. 结论二：任意两个共线的向量线性相关；任意三个共面的向量线性相关. 结论三：如果向量组的部分组线性相关，那么整个向量组也线性相关. 结论四:当mn时，m个n维向量一定线性相关. 例1. 判断向量组 是否线性相关性. 解：由于这是由4个3维向量组成的向 量组，则这个向量组是线性相关的. 2.定义法 定义 设?1, ?2,…, ? n是F上向量空间V的n 个向量. 如果存在F中一组不全为零的k1,k2,…, k n，使得k1?1+k2?2+…＋ k n? n＝0 ，那么就 称向量?1, ?2,…, ? n线性相关. 如果不存在不全 为零的数k1, k2,…, kn使k1?1+k2?2+…＋ k n? n ＝0成立，或者说，只有当k1＝k2＝…＝k n＝0 时，k1?1+k2?2+…＋ k n? n＝0才成立，那么就 称?1, ?2,…, ? n线性无关. 解：设存在四个数 ,使得 由已知 , , , , 得 令 ，则有 所以，由线性相关的定义可知，向量组 线性相关. 例2 设 ， , ， 证明 线性相关. 3．性质判定法 定理 向量组{?1, ?2, …, ? n}(n?2)线性相关的充要条件是其中某一个向量是其余向量的线性组合. 例3.判断向量组 是否线性相关. ，所以该向量组线性相关. 解：因为 4．方程组法 n 维向量组?1, ?2, …, ? m线性相关 线 性方程组 有非零解，即 有非零解. 其中A=(?1, ?2, …, ? n). 例4 判断R3的向量?1＝(1,0, ?1), ?2＝(?2, 2, 0), ?3＝(3, ?5, 2)是否线性相关. 解：以A=( )为系数的方程组为 解之，得 k1＝2k3，k2＝ k3. 只要令k3＝1, 就有 k1＝2，k2＝ . 从而 2?1+ ?2+? 3＝0. 所以?1, ?2, ? 3线性相关. 5．矩阵秩法 n 维向量组?1, ?2, …, ? m线性相关 R(A)m，其中 A=(?1,?2, …, ? m). 例5 .判断向量组 , ， ,是否线性 相关. 解：因为 即R(A)=23，所以向量组?1, ?2, ? 3线性相关. 6.行列式法 n维向量组?1, ?2, …, ? n线性相关 detA=0，其中A=(?1, ?2, …