第18章分析力学基础动力学普遍方程拉格朗日方程课件.pptVIP

* 问题：用虚功方程可解几个代数未知量？ 看例子——平面平衡自由刚体 几个自由度？ 给刚体虚位移： 对应平动 对应转动 用虚功方程解决过若干问题， 即，一个变分方程可对应几个独立的代数方程： 独立代数方程数 ＝ 广义坐标数 ——广义坐标的变分 ——虚功表达式中广义坐标的变分的系数，称为广义力Qi 可见，虚功方程等价于 Qi = 0 (i = 1, 2, ... , k) 在以下（拉格朗日方程）的讲解中，会用到广义力的概念，故下面首先介绍广义力。 注2： ①对应每一个广义坐标，有一个广义力； ②广义力是代数量而非矢量； ③广义力不作用在某个物体上，故也无法画出。 注1： 对单个自由刚体，该组方程等同于平衡方程；对非自由质点系，该组方程不同于平衡方程（见后面例1）。 第18章 动力学普遍方程 拉格朗日方程 §18-1 广义力 一、广义力的概念 质点系任一质点坐标可用广义坐标 qh ( h = 1,2,…,k) 表示： 求变分，得用广义坐标变分表示的虚位移： 该质点上的力所作虚功： 整个质点系上所有（主动）力所作虚功： 对应第 h 个广义坐标的广义力 二、广义力的求法 1. 解析法——由各力及其作用点求 用直角坐标表示： 2. 几何法——由虚功求 质点系虚功： 若只给定第h个广义坐标的虚位移，其余广义坐标的虚位移为0，则 例1 （书上例17-10） 解1：（解析法）建立坐标系如图。选?1、?2为广义坐标。 各力在坐标轴上的投影为 各力作用点坐标为 代入广义力公式（过程略，你可以再详细些），得 计算双摆的广义力，已知摆长各为l1、l2，重量各为W1、W2，力P。（2自由度） 解2：（几何法）选?1、?2为广义坐标，对应虚位移为??1、??2。 ① 先令??1≠0、??2＝0，如图（a）。所有力在此虚位移上的虚功为 所以，对应?1的广义力为 ② 再令??2≠0、??1＝0，如图(b)。 所以，对应?2的广义力为 §18-2 动力学普遍方程 拉格朗日是分析力学的创始人。 回到动力学问题上来。 达朗贝尔原理 虚位移原理 动力学普遍方程 拉格朗日方程 分析力学的基础 所有力在此虚位移上的虚功为： 动力学普遍方程的思想是： 对n个质点的质点系： 动力学问题 形式上的平衡问题 动力学普遍方程 达朗贝尔原理 虚位移原理 理想约束： (1) (2) 或 (3) 或 注：①上式中?不一定指质点，而一般可理解为力或力偶个数； ②当质点系静止时（静平衡）， ，退化为虚功方程： 即，对动力学问题，给系统加上惯性力，再应用虚位移原理即可解题。 例2（补充，由例12-1改，求反力） 图示系统。均质滚子A、滑轮B重量和半径均为Q和r，滚子纯滚动，三角块固定不动，倾角为?，重量为G，重物重量P。试用动力学普遍方程求地面给三角块的水平反力。 分析：此题已经由动量定理、质心运动定理和达朗贝尔原理分别求解过。 欲用动力学普遍方程求解三角块水平反力，需解除其水平约束，研究整体，给各运动物体加惯性力和惯性力偶，但有关加速度和角加速度未知； 欲求加速度和角加速度，研究整体（不去约束），加惯性力和惯性力偶，给系统虚位移，应用动力学普遍方程可求。 解题步骤： (一)研究整体（若求反力，需先去其约束，画上约束力）； (二)画主动力，并加惯性力（偶），画运动图；给系统虚位移； (三)列解方程。 P Q Q ? C O A B 解：I. 求加速度和角加速度。 ① 研究整体（不去约束，因后面要用虚位移原理），加惯性力和惯性力偶，如图。其中惯性力和惯性力偶： ? P Q Q a aC ? ? C O A B ② 给系统虚位移，如图。其中虚位移的关系： 且 (1) (2) ③ 列动力学普遍方程： ④ 将(1)、(2)式代入方程(3)，解得： 从而 (3) 作业：选做18-5（试用动力学普遍方程求。注意为2自由度问题） II. 求地面水平反力。 ① 研究整体，解除地面的水平约束，代之以水平反力X；加惯性力和惯性力偶，如图。 ? P Q Q a aC ? ? C O A B X ② 给系统虚位移，如图。 ③ 列动力学普遍方程： ④ 将(1) 式代入上式，解得： 注：由于使用动力学普遍方程较麻烦，通常不用其直接求解动力学问题。其意义在于导出拉格朗日方程。 拉氏方程由动力学普遍方程导出，它秉承了动力学普遍方程不需考虑约束力的优点。因而，对受完整约束的多自由度多刚体系统，比其它动力学方法简单（特别是保守系统，毋需求广义力）。 §18-3 拉格朗日方程（简介） 简称拉氏方程。拉格朗日推导出两种形式的拉氏方程，即第一类拉格朗日方程和第二类拉格朗日方程。第一类方程使用直角坐标及约束方程（用待