第18讲欧氏空间、正交基课件.ppt

例 解 第五节 线性变换 一、线性变换的定义 请点击 二、线性变换的矩阵 三、线性变换在新基下的矩阵 四、线性变换的特征值与特征向量 一、线性变换的定义 定义1 (1) 对任意?, ? ?V, 有 T(?+?)=T(?)+T(?) (2) 对任意??V, 及任意实数 k，有 T(k?)=kT(?) 则称 T 为 V 的一个线性变换. 向量空间 V 到自身的一个映射 ，称为V的 一个变换。 T 若T满足： 向量 ? 在 T 下的像，记为T(?)或T?. 注2： 用粗体大写字母T, A，B，C，?表示线性变换， 它构成一个线性空间， 定义变换 T： 全体的集合， 设 表示定义在R上次数不超过 的多项式 例1： 故 T 为 的一个线性变换. 对 注1：定义式中（1），（2）可表示为 例2： 证： T(? +? )= (?+?)A 设 A 为一 n 阶实矩阵，对任意 ??Rn ，令 T?= ?A, 则 T 为 Rn 中的线性变换. = ? A+ ?A = T? + T? T(k?)= (k?) A = k(? A) = k (T?) 故 T 为 Rn 中的线性变换. V 中两类特殊的线性变换： 1. 恒等变换 E E?= ? , ???V 2. 零变换 O O?= 0 , ???V 定理1 设 T 是V 的一个线性变换，则 (1) T把零向量变到零向量，把 ? 的负向量变到? 的像的负向量，即 T 0=0；T(??)= ?T?. (2) T保持向量的线性组合关系不变, 即 T(k1?1+k2?2+?ks?s)=k1T?1+k2T?2+?ksT?s. (3) T把线性相关的向量组变为线性相关的向量组. 定义2 设 L(V) 是向量空间 V 的全体线性变换的集合,定义 L(V) 中的加法，数乘与乘法如下： 加法: (T1+T2) ? =T1?+T2? ; 数乘: (kT) ?=kT? 乘法: (T1T2) ?=T1(T2?) 对 ??V, k?R. 均为 V 的线性变换. T1+T2， T1T2， kT 可证: 若 T1, T2 均为 V 的线性变换，则 二、线性变换的矩阵 T 为 V 的一个线性变换. T? =k1 T ?1+k2 T ?2+ … +km T ?m 设 V 为向量空间, dim(V)=m. ?1, ?2, … , ?m 为V 的一组基， ? =k1?1+k2?2+ … +km?m T?1 =a11?1+a21?2+ … +am1?m T?2 =a12?1+a22?2+ … +am2?m T?m =a1m?1+a2m?2+ … +amm?m … … … … … 即 (T ?1, T ?2, … , T ?m ) = (?1, ?2, … , ?m ) A 其中 T(?1, ?2, … , ?m ) = (?1, ?2, … , ?m ) A 简记为 设 （1） （2） … , ?m下的矩阵. 称矩阵 A 为线性 变换 T 在基 ?1, ?2, 给定 V 的基?1, ?2, … , ?m , 线性变换T ? ? 矩阵A 定理3 设 V 的线性变换 T有 (T ?1, T ?2, … , T ?m ) = (?1, ?2, … , ?m ) A 向量?在基?1, ?2, … , ?m下的坐标为(x1, x2, … , xm)， T?在此基下的坐标为(y1, y2, … , ym), 则 = (?1, ?2, … , ?m ) A ? =x1?1+x2?2+ … +xm?m T? =x1 T ?1+x2 T ?2+ … +xm T ?m = (?1, ?2, … , ?m ) 证明： 所以 例3： 设 R3 的线性变换T T(x1, x2, x3)=(a11x1+a12x2+a13x3, a21x1+a22x2+a23x3, a31x1+a32x2+a33x3) 求 T 在标准基?1, ?2, ?3下的矩阵. 解：T?1=T(1, 0, 0)=(a11, a21, a31)= a11?1+a21 ?2+ a31 ?3 T?2=T(0, 1, 0)=(a12, a22, a32)= a12?1+a22 ?2+ a32 ?3 T?3=T(0, 0, 1)=(a13, a23, a33)= a13?1+a23 ?2+ a33 ?3 故 T 在标准基 ?1, ?2, ?3 下的矩阵为 特例： 线性变换 T?=k? ? 数量矩阵kE 恒等变换 T?=? ? 单位矩阵E 零变换 T?=0 ? 零矩阵O 定理4 三、线性变换在新基下的矩阵 ?1, ? 2, … , ? m ?1, ?2, … , ?m； 设 向量空间V有两组基，分别为 B=C?1AC 则 证明： ） （?