第1章_函数与极限1课件.ppt

2. 函数的几种特性 3、反函数与复合函数 双曲函数与反双曲函数 练习： y O x 1 1 -1 2 -2 这也是分段函数，其定义域为 解 例3 1) 符号函数 1 -1 x y o 几个分段函数的例子. 1 2 3 4 5 -2 -4 -4 -3 -2 -1 4 3 2 1 -1 -3 x y o 2) 取整函数 y=[x] [x]表示不超过 的最大整数. 3) 狄利克雷函数(Dirichlet) o 有理数点 无理数点 ? 1 x y 1）有界性 (Boundedness): O x y b a y=f(x) M -M 例如，因为存在 M=1，使对任意x?(-?,+?)，有|sin x|?1，所以 y=sinx是(-?,+?)内的有界函数。 O 1 2 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 y x 2）单调性 (Monotonicity): x y o x y o 例如, 函数y=x3在(-?, +?)内单调增加。 x y O y=x3 -1 -1 而函数y=2x2+1在区间(-?, 0]内单调减少；在区间[0, +?)内单调增加。 -2 O 2 2 4 6 8 y x y=2x2+1 3）奇偶性(Odd and Even): 偶函数 偶函数的图形关于y轴对称。 y x o x -x 奇函数 奇函数的图形关于原点对称。 y x o x -x 例 判断下列函数的奇偶性： 偶函数 非奇非偶 偶函数 奇函数 奇函数 奇函数 4）周期性(Periodicity): （通常周期函数的周期是指其最小正周期）. 定义 设函数y=f(x)的定义域为D，值域为Z。如果对于每个 y?Z，存在唯一x?D，使 f(x)=y，则 x是一个定义在Z上的函数，称为y=f(x) 的反函数，记为x=f -1(y)。 函数y=f(x)与函数x=f -1(y)是互为反函数。 将x与y互换，就得所求反函数为 例1 求y=3x-1的反函数。 解 反函数 (Inverse Functions) 直接函数与反函数的图形关于直线 对称. 例如，在(-?, +?)内，y=x2 不是一一对应的函数关系，所以它没有反函数。 一个函数若有反函数，它必定是一一对应的函数关系。 在(0, +?)内y=x2有反函数 在(-?, 0)内，y=x2有反函数 x y O -1 -1 x y O y=x2 x -x y 如： 可看作由 复合而成。 注：不是任何函数都可以复合成一个函数。 设 y=f(u)=arcsin u，u=g(x)=2+x2 ， 不能复合。 复合函数 (Composite Functions) 例2 设f(x)的定义域为[0, 1]，问(1)f(x2)，(2)f(x+a) (a0)的定义域各是什么？ 所以f(x+a)的定义域为[-a, 1-a]。 (2)令0?x+a?1，得-a?x?1-a， 所以f(x2)的定义域为[-1, 1]。 (1)令0?x2?1，得-1?x?1， 解 注意复合次序： 关键是要掌握把一个复杂的函数分解为几个简单函数的复合或四则运算。 幂函数的定义域随a而异，但不论 a 为何值, 它在(0, +?)内总有定义。幂函数图形都经过 (1, 1)点。 常见的幂函数及其图形： -2 -1 O 1 2 x -2 -1 1 2 y y=x2 y=x3 y=x 1 2 - y=x 1 3 - 1）幂函数(Power Function) 4、基本初等函数 (Basic Elementary Functions) 定义域为(-?, +?)，值域为(0, +?)，都通过(0, 1)点。当a1时，函数单调增加；当0a1时，函数单调减少。 2） 指数函数 (Exponential Function) 对数函数是指数函数y=ax的反函数, 定义域为(0,+?),图形通过(1, 0)点。当 a1 时, 函数单调增加；当 0a1时, 函数单调减少。 3） 对数函数 (Logarithmic Function) 正弦函数 余弦函数 y=sin x与y=cos x的定义域均为(-?, +?)，均以2p为周期。y=sin x为奇函数，y=cos x为偶函数。它们都是有界函数。 4） 三角函数 (Trigonometric Function) 定义域: x?(2n+1)p/2 。 周期: p 。奇函数。 x -4 -2 2 4 y -p p O x -4 -2 2 4 y -p p O 正切函数 定义域: