第1章引言课件2.ppt

解：设取n位有效数字，由定理1和 知 例9 计算sin 1.2，问要取几位有效数字才能保证相 对误差限不大于0.01%. 解关于n的不等式 10-n≤18×10-5=1.8×10-4. 所以取n=4，即可满足要求.对有效数字的观察比 估计相对误差容易得多，故监视有效数字是否损 失，常可发现相对误差的突然扩大. 结束 解 sin1.2=0.93?，故a1=9,m=-1 例10 计算 ，视已知数为精确值，用4位浮点数计算. 解 原式=0.1318×10-2-0.1316×10-2=0.2×10-5 . 结果只剩一位有效数字，有效数字大量损失，造成相对 误差的扩大.若通分后再计算： 原式= 就得到4位有效数字的结果.下文将会提到相近数字相减 会扩大相对误差. 结束 1.3.1~数值运算时误差的传播 当参与运算的数值带有误差时，结果也必然带有误差， 问题是结果的误差与原始误差相比是否扩大. §1.3 设计算法时应注意的原则 结束 数值运算的误差估计 例12：若电压V=220± 5V，电阻R=300± 10? ，求电流I并计 算其误差限及相对误差限。 解： 所以 结束 算法的数值稳定性 考虑初始数据误差在计算中的传播问题. 病态问题与条件数 对一个数值问题本身，如果输入数据有微小的变化（即误差），引起输出数据（即问题的解）相对误差很大，这就是病态问题。 三、避免误差危害的若干原则 除了分清问题是否病态和算法是否数值稳定外,还要考虑避免误差危害和防止有效数字损失的如下原则. 1.避免‘大数’除以‘小数’ 例13 仿计算机，采用3位十进制，用消元法求解方程组 解： 错.为什么,怎么办？ 结束 1.3.2 算法中应避免的问题 1）避免相近数相减 由公式(1.11) 当 x1 和 x2 十分相近时， x1-x2接近零， 将很大，所以 和 从直观上看，相近数相减会造成有效数位的减少， 本章例13就是一个例子.有时，通过改变算法可以避 免相近数相减. 大很多，即相对误差将显著扩大. 将比 结束 结束 例14: 解方程 x 2-18 x +1=0，假定用4位浮点计算. 解: 用公式解法 可见第二个根只有两位有效数字,精度较差.若第二个根 改为用韦达定理计算 可得较好结果。 如 等等,都可以得到比直接计算好的结果。 可改为 如 可改为 结束 结束 若 则 这时 将比 扩大很多。 3)防止小数被大数“吃掉” 在大量数据的累加运算中，由 于加法必须进行对位，有可能出现小数被大数“吃掉”. 2)避免除法中除数的数量级远小于被除数 由公式(1.13) 结束 如用六位浮点数计算某市的工业总产值，原始数据是各企业 的工业产值，当加法进行到一定程度，部分和超过100亿元 （0.1×1011），再加产值不足10万元的小企业产值，将再也加 不进去.而这部分企业可能为数不少，合计产值相当大.这种情 况应将小数先分别加成大数，然后相加，结果才比较正确. 这个例子告诉我们，在计算机数系中，加法的交换律和结合律 可能不成立，这是在大规模数据处理时应注意的问题. 4)注意运算步骤的简化　减少算术运算的次数以减少误差的积 累效应。 * 结束 第一章 绪论 科学计算的重要性 ?科学计算是工程实践的重要工具 ?科学计算是继理论与实验后另一科学研 究手段 科学计算的国家战略与发展(1) ? 1983 年一个由美国著名数学家拉克斯(P. Lax)为首的不同学科的专家委员会向美国政府提出的报告之中，强调“科学计算是关系到国家安全、经济发展和科技进步的关键性环节，是事关国家命脉的大事。” ? 1984 年美国政府大幅度地增加对科学计算经费的支持,新建成五个国家级超级计算中心（分别在普林斯顿大学、圣地亚哥、伊里诺大学、康奈尔大学、匹兹堡大学），配备当时最高性能的计算机，建立NSF -net 新网络。 ? 80 年代中期我国将“大规模科学与工程计算”列入国家资助重大项目。大型科学计算被列为国家”八五”重点基础项目. 科学计算的国家战略与发展(2) ? 1987 年起美国NSF 把“科学与工程计算” ，“生物工程” “全局性科学”作为三大优先资助的领域。 ? 1990 年美国国家研究委员会发表《振兴美国数学：90年代的计划》的报告，建议对由计算引发的数学给予特殊的鼓励和资助。 ? 1991 年以美国总统倡议的形式提出了“高性能计算与通信HPCC计划