第2章一元函数微分学课件.ppt

第二章 一元函数微分学 例16 解 * 考试内容 1.导数和微分的概念 (1)导数的定义 第一定义: 第二定义: (2)微分的定义 二者关系: 2.导数的几何意义和经济意义 3.函数的可导性与连续性之间的关系 4.平面曲线的切线与法线 经济学中, 边际 = 导数, 弹性 = 相对导数, 即 切线方程: 法线方程: 0 1 例如: 5.导数和微分的四则运算 6.基本初等函数的导数 7.复合函数、反函数和隐函数的微分法 8.高阶导数 莱布尼茨公式: 10.微分中值定理 9.一阶微分形式的不变性 费尔马引理, 罗尔定理, 拉格朗日定理, 柯西定理, 泰勒展开定理: 拉格朗日型余项 11.洛必达(LHospital)法则 12.函数单调性的判别 13.函数的极值 极值可疑点: 驻点(一阶导数为零的点)或一阶导数不存在的点. 极值存在的第一充分条件: 极值存在的第一充分条件 称为“一阶导数变号法”. 极值存在的第二充分条件: 称为“二阶导数非零法”. 注:此法只适用于驻点,不能用于判断不可导点. 14.函数图形的凹凸性、拐点及渐近线 凹向判定定理: 拐点判断定理: 若曲线 或不存在, 但 在 两侧异号, 则点 是曲线 的一个拐点. 曲线的渐近线 (1)水平渐近线 曲线的渐近线 (2)铅直渐近线 (3)斜渐近线 斜渐近线求法: 15.函数图形的描绘 第一步 第二步 第三步 第四步 第五步 16.函数的最大值与最小值 考试要求 1.理解导数的概念及可导性与连续性之间的关系,了解导数的几何意义与经济意义(含边际与弹性的概念),会求平面曲线的切线方程和法线方程. 3.了解高阶导数的概念,会求简单函数的高阶导数. 5.理解罗尔(Rolle)定理.拉格朗日(Lagrange)中值定理.了解泰勒(Taylor)定理.柯西(Cauchy)中值定理,掌握这四个定理的简单应用. 4.了解微分的概念,导数与微分之间的关系以及一阶微分形式的不变性,会求函数的微分. 2.掌握基本初等函数的导数公式.导数的四则运算法则及复合函数的求导法则,会求分段函数的导数,会求反函数与隐函数的导数. 7.掌握函数单调性的判别方法,了解函数极值的概念,掌握函数极值、最大值和最小值的求法及其应用. 8.会用导数判断函数图形的凹凸性,会求函数图形的拐点和渐近线. 9.会描述简单函数的图形. 6.会用洛必达法则求极限. 典型例题分析 例1 解 例2 解 注 此题不能用导数的乘法法则计算. 例3 解 解 例5 解 先化简, 所以, 例6 解 (1)式两边再关于 x 求导,得 例7 解 例8 解 对数求导法 例9 解 例10 解法一 由Leibniz公式 例10 解法二 由麦克劳林公式,得 例11 证明 注 本例也可以构造辅助函数 运用罗尔中值定理证明. 例12 证 解 根据导函数的图形可知,一阶导数为零的点有3个, 三个一阶导数为零的点左右两侧导数符号不一致,必为极值点, 且是两个极小值点,一个极大值点; 本题应选C. 例14 解 故本题应选D. 例14 解 例15 解 非奇非偶函数. 列表 / 拐点 极小值点 间断点 / 作出函数的图形. x O y B(-2, -3), 曲线有水平渐近线y = -2和铅垂渐近线 x = 0。 A B C D 描点: A(-3, -26/9)， / 拐点 极小值点 间断点 / * * *