第2章数值微分和数值积分课件.ppt

Romberg公式是对近似值进行修正而得到更近似的公式，它已不是前面所讲的插值求积的思想了，这是一种新的方法，称为外推法。 用Romberg方法的工作量主要在于求 ，其余各步都是线性组合，计算量不大，所以， Romberg方法在达到同样精度的前提下大大节省了计算量。 Home Work P69 ：9。 定义：若一组节点 使插值型公式 具有2n+1次代数精度，则称此节点为Gauss点，相应的求积公式为Gauss 型求积公式 构造Gauss型求积公式的关键是求 Gauss点 * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * (3) Gauss-Hermite求积公式 公式的Gauss点和求积系数可在数学用表中查到 . n xk Ak n xk Ak 2 ±0.7071067811 0.8862269254 6 ±0.4360774119 ±1.3358490704 ±2.3506049736 0.7246295952 0.1570673203 0.0045300099 3 ±1.2247448713 0 0.2954089751 1.8163590006 4 ±0.5246476232 ±1.6506801238 0.8049140900 0.0813128354 7 ±0.8162878828 ±1.6735516287 ±2.6519613563 0 0.4256072526 0.0545155828 0.0009717812 0.8102646175 5 ±0.9585724646 ±2.0201828704 0 0.3936193231 0.0199532421 0.9453087204 区间(-?,??)上权函数W(x)= 的Gauss型求积公式,称为Gauss-Hermite求积公式, 其Gauss点为Hermite多项式的零点. ? Gauss 公式的余项： /* 设P为f 的过x0 … xn的插值多项式 */ /*只要P 的阶数不大于2n+1，则下一步等式成立*/ 插值多项式的余项 Q：什么样的插值多项式在 x0 … xn 上有 2n+1 阶？ A：Hermite 多项式！ 满足 * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * 定义 　　 若一个积分公式的误差满足 且C ? 0，则称该公式是 p 阶收敛的。 ~ ~ ~ 例：计算 解： 其中 = 3.138988494 其中 = 3.141592502 运算量基本相同 函数变化有急有缓，为了照顾变化剧烈部分的误差，我们需要加密格点。对于变化缓慢的部分，加密格点会造成计算的浪费。以此我们介绍一种算法，可以自动在变化剧烈的地方加密格点计算，而变化缓慢的地方，则取稀疏的格点。 积分的自适应计算 ①先看看事后误差估计 以复化梯形公式为例 n等分区间 2n等分区间 近似有： 类似，复化Simpson公式 ②自适应计算 记 为复化一次，2次的Simpson公式 控制 求 是 由前面的事后误差估计式， 则， 这启发我们，可以用低阶的公式组合后成为一个高阶的公式。 类似， Romberg积分 记 为以步长为h的某数值积分公式，有 有如下的Euler-Maclaurin定理 若 为2m阶公式，则 Romberg 积分就是不断地用如上定理组合低阶公 式为高阶公式，进而计算积分 ? Romberg 算法： ? ? ? ? ? ? … … … … … … ? T1 = ) 0 ( 0 T ? T8 = ) 3 ( 0 T ? T4 = ) 2 ( 0 T ? T2 = ) 1 ( 0 T ? S1 = ) 0 ( 1 T ? R1 = ) 0 ( 3 T ? S2 = ) 1 ( 1 T ? C1 = ) 0 ( 2 T ? C2 = ) 1 ( 2 T ? S4 = ) 2 ( 1 T 重积分的计算 在微积分中，二重积分的计算是用化为累次积分的方法进行的。计算二重数值积分也同样采用累次积分的计算过程。简化起见，我们仅讨论矩形区域上的二重积分。对非矩形区域的积分，大多可以变化为矩形区域上的累次积分。 a,b,c,d 为常数，f 在D 上连续。将它变为化累次积分 首先来看看