第2章数值微分和数值积分课件1.pptVIP

第二章 数值微分和数值积分 数值微分 数值积分 Newton-Cote’s 积分 复化积分 重积分的计算 Gauss型积分公式 ②自适应计算 记 为复化一次，2次的Simpson公式 控制 求 是 4、Romberg积分 由前面的事后误差估计式， 则， 这启发我们，可以用低阶的公式组合后称为一个高阶的公式。 类似， 记 为以步长为h的某数值积分公式，有 有如下的Euler-Maclaurin定理 若 为2m阶公式，则 Romberg积分就是不断地用如上定理组合低阶公式为高阶公式，进而计算积分 ? Romberg 算法： ? ? ? ? ? ? … … … … … … ? T1 = ) 0 ( 0 T ? T8 = ) 3 ( 0 T ? T4 = ) 2 ( 0 T ? T2 = ) 1 ( 0 T ? S1 = ) 0 ( 1 T ? R1 = ) 0 ( 3 T ? S2 = ) 1 ( 1 T ? C1 = ) 0 ( 2 T ? C2 = ) 1 ( 2 T ? S4 = ) 2 ( 1 T 在微积分中，二重积分的计算是用化为累次积分的方法进行的。计算二重数值积分 也同样采用累次积分的计算过程。简化起见，我们仅讨论矩形区域上的二重积分。对 非矩形区域的积分，大多可以变化为矩形区域上的累次积分。 a,b,c,d为常数，f在D上连续。将它变为化累次积分 首先来看看复化梯形公式的二重推广 做等距节点，x轴，y轴分别有： 先计算 ，将x作为常数，有 再将y作为常数，在x方向，计算上式的每一项的积分 二重积分的复化梯形公式 系数，在积分区域的四个角点为1/4，4个边界为1/2，内部节点为1 误差 类似前面有： 记 二重积分的复化Simpson公式 做等距节点，x轴，y轴分别有： m，n为偶数 误差 Newton-Cote’s积分公式，可以知道n为偶数时，n＋1个点数值积分公式有n＋1阶精度。是否有更高的代数精度呢？n个点的数值积分公式，最高可以到多少代数精度？本节会解决这个问题。 例：在两点数值积分公式中，如果积分点也作为未知量，则有4个未知量 可以列出4个方程： （以f(x)在[-1,1]为例） 可解出： 可以看出，数值积分公式 具有3阶代数精 度，比梯形公式 1阶代数精度高 n个积分点的数值积分公式，最高2n－1阶 证明： 取 易知： 也就是说，数值积分公式，对一个2n+2阶的多项式是有误差的， 所以，n＋1个点的数值积分公式不超过2n＋1阶 如何构造最高阶精度的公式？ 定理 一般性，考虑积分： 称为权函数 定义两个可积函数的内积为： 两个函数正交，就是指这两个函数的内积为0 利用Schmidt正交化过程， 变为正交基 就可以将多项式基函数 数 学 系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS * 函数f(x)以离散点列给出时，而要求我们给出导数值， 函数f(x)过于复杂 这两种情况都要求我们用数值的方法求函数的导数值 微积分中，关于导数的定义如下： 自然，而又简单的方法就是，取极限的近似值，即差商 由Taylor展开 因此，有误差 向前差商 由Taylor展开 因此，有误差 向后差商 由Taylor展开 因此，有误差 中心差商 由误差表达式，h越小，误差越小，但同时舍入误差增大，所以，有个最佳步长 我们可以用事后误差估计的方法来确定 设D(h),D(h/2)分别为步长为h,h/2的差商公式。则 时的步长h/2就是合适的步长 f(x)=exp(x) -0.0032 3.1550 0.01 -0.0018 3.1600 0.06 -0.0007 3.1575 0.02 -0.0025 3.1607 0.07 -0.0001 3.1583 0.03 -0.0031 3.1613 0.08 -0.0006 3.1588 0.04 -0.0040 3.1622 0.09 -0.0008 3.1590 0.05 -0.0048 3.1630 0.10 R(x) f’(1.15) h R(x) f’(1.15) h 例： 插值是建立逼近函数的手段，用以研究原函数的性质。因此，可以用插值函数的导数近似为原函数的导数 误差 插值型数值微分 给定点列 且 ，求 解： 例： Taylor展开分析，可以知道，它们都是 称为三点公式 关于积分，有Newton-Leibniz公式 但是，在很多情况下，还是要数值积分： 1、函数有离散数据组成 2、F(x)求不出 3、F(x)非常复杂 定义数值积分如下：是离散点上的函数值的线性组合 称为积分系数，与f(x)无关，与积分