2013年泉州市数学中考第25题解题方法汇总.docVIP

2013年泉州市数学中考第25题解题方法汇总 题目 如图，直线分别与、轴交于点、，点，是直线上的动点． （1）求的大小； （2）求点的坐标，使； （3）在坐标平面内，平移直线， 试探索： 当在不同位置时，使 的点的个数是否保持不变？若不变， 指出点的个数有几个？若改变，指出 点的个数情况，并简要说明理由． （1）解法一：直线分别与、轴交于点、 当时，；当时， ， 在中 解法二：直线分别与、轴交于点、 （2）解法一：（通性通法） 如图1，连结 由（1）知：，，， 在中，由勾股定理得， ， 是等边三角形 取的中点，易得 则，连结 点的坐标为或 注：（关于说明的不同解法二） 取的中点，易得 是等边三角形 （三线合一），连结 注：（关于说明的不同解法三） 取的中点，易得 是等边三角形 （三线合一），连结 四点共圆 解法二（利用圆周角性质）:以为弦，所对的圆心角等于的圆共有两个，不妨记为⊙、⊙，点、关于轴对称，点在这两个圆被轴截成的两段优弧中（不包括A，O两点），此时，都满足. 情况一：当点在轴上方优弧上时， 由（1）知：，，， 在中，由勾股定理得， ， 是等边三角形 为⊙的直径 记⊙与直线交于点，则 是等边三角形 点为的中点（三线合一） 由（1）知：，，由中点坐标公式，得 情况二：当点在轴下方优弧上时， 点、关于轴对称，可得，⊙、⊙的半径为 记点到直线的距离，由点到直线距离公式，得 可知，⊙与直线相离，不存在点满足题意 点的坐标为或 注：（关于求点的不同解法二） 为⊙的直径 记⊙与直线交于点，则 记直线的解析式为，由垂直线斜率公式，得 又直线：经过 联立 解得 解法三（利用圆的方程解题）: 以为弦，所对的圆心角等于的圆共有两个，不妨记为⊙、⊙，点、关于轴对称，点在这两个圆被轴截成的两段优弧中（不包括A，O两点），此时，都满足.由（1）知：，，由中点坐标公式，得 点、关于轴对称，可得 由两点距离公式可得⊙、⊙的半径为 联立或联立 解得或 点的坐标为或 (3) 解法一（图像探究法）：符合条件的点的个数情况有四种:1个、2个、3个、4个． 以为弦，所对的圆心角等于的圆共有两个，不妨记为⊙、⊙，点、关于轴对称. 点在这两个圆被轴截成的两段优弧中（不包括A，O两点），此时，都满足. 点的个数情况如图3： ⅰ）有1个：直线只与⊙（或⊙）相切； ⅱ）有2个：直线只与⊙（或⊙）相交，或直线与相交（包括A，O两点）； ⅲ）有3个：直线与⊙（或⊙）相切，同时与⊙（或⊙）相交； 直线过⊙与⊙的一个交点，同时与两圆都相交； ⅳ）有4个：直线同时与⊙、⊙都相交，同时直线不与相交，且不过两圆的交点. 注：（点的个数情况不同表达方法） 如图3，9条平行线从左到右标记为直线 点的个数情况如图3： ⅰ）有1个：在与位置； ⅱ）有2个：夹在与之间（不含与）、 夹在与之间（不含与）、 夹在与之间（不含与）； ⅲ）有3个：在与位置； ⅳ）有4个：夹在与之间（不含与）、 夹在与之间（不含与）. 解法二（利用中的取值范围分情况讨论）： 符合条件的点的个数情况有四种:1个、2个、3个、4个．以为弦，所对的圆心角等于的圆共有两个，不妨记为⊙、⊙，点、关于轴对称. 点在这两个圆被轴截成的两段优弧中（不包括A，O两点），此时，都满足. 记平移中直线的解析式，则点的个数情况如下： ⅰ）有1个：或； ⅱ）有2个：或或； ⅲ）有3个：或； ⅳ）有4个：或. 注：（关于中的求法一） 可知，、 当直线与⊙、⊙时，记点点、到直线的距离分别为、，由点到直线距离公式，得 或或：或 注：（关于中的求法二） 可知，、，由两点距离公式可得⊙、⊙的半径为 联立或联立 两个方程组都只有一组解，化为以为主元的方程根的判别式为 可求得或或：或 （泉州现代中学陈景文整理及部分个人解法） （第25题图） （第25题图1） （第25题图2） （第25题图3）