第2章机电控制工程数学基础课件.ppt

第2章 控制系统的数学模型 本章主要从微分方程、传递函数和系统框图去建立自动控制系统的数学模型。主要叙述系统微分方程建立的步骤、传递函数的定义与性质、系统结构图的建立与变换、结构图变换的规则及用梅梅森公式简化结构图、典型环节与典型系统的数学模型、系统传递函数的求取以及用MATLAB工具软件建立控制系统的数学模型。系统的数学模型是对系统进行定量分析的基础和出发点。 2.1 控制工程数学基础 从数学的角度看，拉普拉斯（laplace）变换方法是求解常系数线性微分方程的工具，可以分别将微分与积分运算转换成乘法和除法运算，即把积分微分方程转换为代数方程。当求解控制系统输入输出微分方程时，求解的过程得到简化可同时获得控制系统的瞬态分量和稳态分量。所以拉氏变换是研究控制系统一种有效的数学工具。 2.1.1拉普拉斯变换的定义 设函数f(t)定义在实轴上，假定它满足下列二个条件： 一、当t＜0时，f(t)=0；当t≥0时，f(t)在任何有界区间上至多只有有限个间断点 二、当t→ +? 时，f(t)具有有限增长性，即存在常数M＞0及?≥0,使得， 0 ≤t＜∞。 2.1.2 典型输入信号的拉普拉斯变换 在控制工程中，常采用的典型信号有： (1)单位阶跃函数 (2)单位斜坡函数 (3)单位抛物线函数 (4)单位脉冲函数 常采用的典型信号的函数图像 一、阶跃函数的表达式及其拉氏变换 二、斜坡函数（速度函数） 1、斜坡函数表达式： 三、抛物线函数(或加速度函数) 1、加速度函数表达式： 四、单位脉冲函数的拉斯变换 1、单位脉冲函数为： 常用函数的拉氏变换见表 2.1.3拉普拉斯变换的性质 1、线性性质 2、微分性质 3、积分性质 4、延迟性质 5、位移性质 6、时间尺度性质 7、初值定理 8、终值定理 一、线性性质 拉氏变换也遵从线性函数的齐次性和叠加性。 ◇拉氏变换的齐次性是：一个时间函数乘以常数时，其拉氏变换为该时间函数的拉氏变换乘以该常数。 ◇拉氏变换的叠加性是： 两个时间函数 与 之和 的拉氏变换等于 、 的拉氏变换 、 之和。即 例2-1-1 求 及 的拉氏变换 例2-1-2 已知 ，求 的拉氏变换。 解：应用线性性质，则 二、微分性质 若 则 推论： 当 ， 则 例2-1-3已知 ，m为整数， 求的拉氏变换。 解：由于 ，且 ，由拉氏变换微分性质得 又因 故 三、 积分性质 若 ，则 推论：若 ，初始条件为0时，则 例2-1-4 已知 ， 为实数，求 的拉氏变换。 解：根据拉氏变换的积分性质得 四、 延迟性质 如图2-1-2所示，原函数沿时间轴平移τ，平移后的函数为f (t-τ)。该函数满足下述条件 t0时，f (t)=0 tτ时, f (t-τ)=0若L[f(t)]= F(s)，则 例2-1-5 求函数 的拉氏变换。 解：由延迟性质得： 五、 位移性质 若 ，则 例2-1-7 求下面各图所示函数的拉氏变换。 2.1.4 拉普拉斯反变换 1、部分分式法 一、F(s)只含有不同极点（即只有一阶极点）时，F(s)的部分分式展开式为 2.2 控制系统数学模型的建立 描述系统在运动过程中各变量之间相互关系的数学表达式，叫做系统的数学模型。 建立数学模型的方法，通常用解析法和实验法 数学模型的形式有：微分方程式、传递函数、结构图、状态方程等。单输人单输出的系统采用传递函数，结构图较为方便 2.2.1元件和系统微分方程式的建立 列写闭环系统微分方程式的目的，是确定输出与输入或扰动量之间的函数关系。列写的一般步骤如下： 分析系统和元件的工作原