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第2章 杆件结构 2.1 直梁 二、单元弹性特性——单元刚度矩阵 三 单元的集合与刚度矩阵的迭加 四、边界约束 五、有限元法的基本思路 2.2平面刚架 2.2.3坐标变换 2.2.4 位移法基本原理回顾 2.2.5 等效节点载荷的计算 2.2.6 建立节点平衡方程式 2.2.7 引入边界条件 2.2.8 解方程组 2.2.9 求单元内力 2.2.10 有限元法的求解步骤 2.3实例分析 2.4 空间杆件结构 三、计算单元内力合应力 2.2.4 位移法基本原理回顾 由图可知，（a）的弯矩图可由（b）（c）两种状态的弯矩图叠加而成，即图2－11所示的结果。由图（a）找到最大弯矩值M，就可以按材料力学的公式去计算刚架中的最大应力。 2.2.4 位移法基本原理回顾 小节： （2）等效节点载荷由非节点载荷引起的。在刚架中其值为非节点载荷所在单元的固端反力的“－”值。 （3）单元的内力为节点位移引起的内力与非节点载荷作用下的两端固定梁的内力之和。 （1）平衡方程的左端是由节点位移引起的单元节点力之和；而方程的右端是节点载荷，其值是外加节点载荷与等效载荷之和。 由上节的结论可知，只需给出载荷作用下两端固定梁的固端反力公式，然后将固端反力加一“－”号即为等效节点载荷。下面给出几种载荷的公式，它们可以用力法求得。 2.2.5 等效节点载荷的计算 例题 按上面介绍的公式计算的节点载荷是局部坐标系内的结果，为了建立节点平衡方程式，必须将式（2－29）～（2－32）求出的固端反力变换到整体坐标系中去。 2.2.5 等效节点载荷的计算 由于例题中的（2）单元，其局部坐标系与整体坐标系一致，坐标变换矩阵T=I，所以上面的计算结果的整体坐标内的固端反力为： 一、将刚架离散成一个节点处刚结的受力自由体 U1, V1, M1, U4, V4, M4分别是节点1和节点4处的支座反力（单元节点力标的是整体坐标系中的分量）。单元刚度矩阵是（2—27）和（2—28）式。 将刚架离散成一个节点处刚结的受力自由体见右图（b），此处利用了上面分析的结果，非节点荷载P已被移置到节点上，V02＝V02, M02=M02, V03=V03, M03=M03是坐标变换后的结果。 2.2.6 建立节点平衡方程式 二、建立平衡方程式 2.2.6 建立节点平衡方程式 对节点2，由位移引起的单元节点力，由式（2－27）和（2－28）得： 式（2-37）就是以节点位移表示的节点2的平衡方程。 节点2的平衡方程为 将（2－33）～（2－35）代入式（2－36）有： 二、建立平衡方程式 同理对于1、3、4节点也都可以列出3个平衡方程，则本题可以列出类似于式（2-37）的12个方程式，即 本题有4个节点，每个节点有3个未知数（位移），共12个未知数，现有12个方程式，问题可解。 二、建立平衡方程式 总刚度方程 1、对整体刚度矩阵的处理 将KZ中已知位移（为0）所对应的行和列中的全部元素都置为“0”，在行、列交点处的元素置“1。 2、对P的处理 将P中已知位移（为0）所对应的（行）元素置为“0”。 3、?列阵不变 例题：例1中的平面刚架的边界条件为： 利用上面方法对式（2-41）进行处理后有： 引入边界条件后的方程。 利用解方程组的方法解方程组。 将上式中的1、2、3、10、11、12个方程去掉，并利用对称性， 则上式变为： 方程组的解为： 只要求出杆单元节点力，就能画出单元的内力图，并可知单元各截面处的内力，下面求计算单元节点力的公式。 2、划分单元，选取坐标系（局部坐标系），标明节点码和单元码。 1、给出初始参数； 3、计算节点载荷列阵P（＝外加节点载荷＋等效节点载荷）。 4、计算单元刚度矩阵。需先分别计算局部坐标系中的单元矩阵Ke和坐标变换矩阵T再计算Ke。 5、形成总刚度矩阵。 6、引入边界条件。 7、解方程组求节点位移。 8、求单元内力（或应力） 见讲稿 2.4.1 空间刚架 图2－10所示的e单元有二节点i、j，现以x轴为杆的轴线，x‘iz’和xiy为直杆的两个弯曲主平面。取ixyz为局部坐标系，oxyz为统一坐标系。 图2－10 对于一般的空间刚架,每一个直杆仍可视为一个单元，杆件的交点仍做为节点。结构承受载荷时，每个杆件在三维空间内将发生轴向变形、两个主平面的弯曲变形和杆件的扭转变形等几部分。 对于空间杆单元，一个节点的位移应包含三项线位移和三项角位移，即每一节点有6个自由度。在上述局部坐标系内i节点的位移可表示为： 2.4空间杆件结构 线位移以坐标轴方向为正，角位移则绕轴按右手螺旋为正，角位移很小，可以矢量表示（图中以双箭头表示）。在此局部坐标系内ui为杆的轴向位移，vi和wi为横向弯曲的两个挠度，?xi为杆的扭转角，?yi和?zi则为横向弯曲