第2章非线性方程求解课件.ppt

第2章 非线性方程求解 2.1 化工实际问题的提出 2.2 实根的对分法 2.3直接迭代法 2.4松弛迭代法 2.5韦格斯坦法 2.6牛顿迭代法 2.7 割线法 2.8非线性方程组的牛顿方法 2.9 化工生产中非线性方程组求解应用实例 2.1 化工实际问题的提出 求解非线性方程是化工设计及模拟计算中必须解决的一个问题。与线性方程相比，非线性方程问题无论是从理论上还是从计算公式上，都要比线性方程复杂的多。对于一般的非线性f(x)=0，计算方程的根既无一定章程可循也无直接方法可言。例如，求解高次方程组7x6-x3+x-1.5=0的根，求解含有指数和正弦函数的超越方程ex-sin(x)=0的零点。解非线性方程或非线性方程组也是计算方法中的一个主题。一般地，我们用符号f(x)来表示方程左端的函数，方程的一般形式表示为f(x)=0，方程的解称为方程的根或函数的零点。 通常，非线性方程的根不止一个，而任何一种方法只能算出一个根。因此，在求解非线性方程时，要给定初始值或求解范围。而对于具体的化工问题，初值和求解范围常常可根据具体的化工知识来决定。常见的雷诺数和摩擦系数关系方程在雷诺数低于4000时有以下关系式： 2.1 化工实际问题的提出 这是一个典型的非线性方程。我们在管路设计中经常碰到。当我们已知雷诺数Re，如何根据公式（2-1）求出摩擦系数λ，这是我们在管路设计中必须首先解决的问题。对于方程（2-1）而言，无法用解析的方法求出摩擦系数，只能用数值求解的方法。如用在下面即将介绍的松弛迭代法，假设： 则利用松弛迭代公式可得： 经11次迭代可得摩擦系数为0.07593。 同样，在n个组分的等温闪蒸计算中，通过物料和相平衡计算，我们可得到如下非线性方程： 2.1 化工实际问题的提出 在方程（2-3 ）中只有α是未知数，ki为相平衡常数，zi为进料组分的摩尔浓度，均为已知数。和上面的情况一样，方程（2-3 ）也无法直接解析求解，必须利用数值的方法，借助于计算机方可精确的计算。对于这个问题的求解，可利用我们下面介绍的牛顿迭代法进行计算，也可利用其他迭代公式进行计算，如采用牛顿迭代公式，则可以得到如下的具体迭代公式： （2-4） 饱和蒸气压是我们经常要用到的数据，虽然我们可以通过实验测量来获取饱和蒸气压的数据，但我们通常利用前人已经测量得到的数据或回归的公式来获取，这可以减轻我们大量的基础实验工作。公式（2-5）是一种常用的饱和蒸气压计算公式： 其中p为饱和蒸气压，单位为mmHg，T为温度，单位为K，A、B、C、D为已知系数。要想得到某一温度下的饱和蒸气压，直接利用公式（2-5）是无法得到的。因为公式（2-5）两边都有未知变量，并且无法用解析的方法求解，必须用数值计算的方法求解。通过上面的一些例子，我们可以发现，如果没有适当的手段和办法来求解非线性方程，那么化学化工中的许多研究、设计等工作将无法展开，这势必影响化学化工的发展，下面我们将介绍一些实用的非线性方程求解方法，并提供计算机程序。 2.2 实根的对分法 2.2.1 使用对分法的条件 2.2.2对分法求根算法 2.2.3对分法VB程序清单 2.2.1 使用对分法的条件 对分法或称二分法是求方程近似解的一种简单直观的方法。设函数f(x)在[a,b]上连续，且f(a)f(b)0，则f(x)在[a,b]上至少有一零点，这是微积分中的介值定理，也是使用对分法的前提条件。计算中通过对分区间，逐步缩小区间范围的步骤有哪些信誉好的足球投注网站零点的位置。 如果我们所要求解的方程从物理意义上来讲确实存在实根，但又不满足f(a)f(b)0，这时，我们必须通过改变a和b的值来满足二分法的应用条件。 2.2.2对分法求根算法 计算f(x)=0的一般计算步骤如下： 1、输入求根区间[a,b]和误差控制量ε，定义函数f(x)。 2、判断: 如果f(a)f(b)0则转下，否则，重新输入a和b的值。 3、计算中点 x=(a+b)/2以及f(x)的值 分情况处理 （1）|f(x)|ε：停止计算x*=x，转向步骤4 （2）f(a)f(x)0：修正区间[a,x]→[a,b]，重复3 （3）f(x)f(b)0：修正区间[x,b]→[a,b]，重复