第3章-集合论课件.ppt

定义3.3.2 给定两个有序对x, y和u, v。当且仅当x=u和y=v时，有序对x, y和u, v相等，亦即 x, y=u, v iff (x=u)?(y=v) 可将有序对推广到n元有序组，它的第一分量是(n-1)元有序组，并记为x1,x2,···,xn-1,xn，或记为x1,x2,···,xn-1,xn。类似地定义两个n元有序组相等： x1,x2,···,xn-1,xn=y1,y2,···,yn-1,yn iff (x1=y1)?(x2=y2)?···?(xn-1=yn-1)?(xn=yn) 下面将使用有序对和无序对分别定义笛卡儿积和无序积。 定义3.3.3 给定集合A和B，若有序对的第一分量是A的元素，第二分量是B的元素，所有这些有序对的集合，称为A和B的笛卡尔积，记为A?B， A?B={x,y|x?A?y?B} 定义3.3.4 给定集合A和B，若无序对是由A中元素和B中元素组成，所有这些无序对的集合，称为A和B的无序积，记为AB。 AB={(x,y)|x?A?y?B} 定理3.3.1 任给集合A，B和C，则 ① A?(B∪C)=(A?B)∪(A?C) ② A?(B∩C)=(A?B)∩(A?C) ③ (A∪B)?C=(A?C)∪(B?C) ④ (A∩B)?C=(A?C)∩(B?C) 笛卡尔积的概念可以推广到n个集合A1, A2, ···, An的笛卡尔积，它可表成： Ai=(A1?A2?···?An-1)?An，n≥2。 用归纳法不难证明，若Ai(1≤i≤n)是有穷集合，则|A1?A2?···?An|=|A1|·|A2|·…·|An|。 第三章 集合作业 习题3-1: (4): (a), (c), (e); (5); (6); (7); (9). 习题3-2: (4); (5); (7). 习题3-3*： 习题3-4: (1): (b); (2); (3): (b), (d); (4). 显然，全集U即是第二章中的全总论域。于是，每个元素x都属于全集U，即命题(?x)(x?U)为真。由定义易知，对任意集合A，都有A?U。 在实际应用中，常常把某个适当大的集合看成全集U。全集是个相对概念。 定义3.1.4 没有任何元素的集合，称为空集，记为?，它可形式地表为： ?={x|P(x)??P(x)} 其中P(x)为任何谓词公式。 由定义可知，对任何集合A，有??A。这是因为任意元素x，公式x???x?A总是为真。 注意，?与{?}是不同的。{?}是以?为元素的集合，而?没有任何元素，能用?构成集合的无限序列： (1)?，{?}，{{?}}，··· 该序列除第一项外，每项均以前一项为元素的集合。 (2)?，{?}，{?，{?}}，··· 该序列除第一项外，每项均以前面各项为元素的集合。它即是冯·诺依曼在1924年使用空集?给出自然数的集合表示： 0:=?，1:={?}，2:={ ?,{?}}，··· 定理3.1.1 空集是唯一的 定理3.1.2 (ⅰ)对任一集合A，有A?A。 (ⅱ)若A?B且B?C，则A?C。 对任何一个集合A: A和?称为A的两个平凡子集。 3．集合的基数 表示集合中元素多少或度量集合大小的数，称作集合的基数或势。一个集合A的基数，记为|A|。 如果一个集合恰有m个不同的元素，且m是某个非负整数，称该集合是有限的或有穷的，否则称这个集合为无限的或无穷的。例如，在本书中常用有穷集有： Nm={0,1,2,···,m-1} 本书中常见的无穷集合有： N={0,1,2,3,···}，即自然数集合。 Z={···,-2,-1,0,1,2,3,···}，即整数集合。 Z+={1,2,3,···}，即正整数集合。 Q=有理数集合。 R=实数集合。 C=复数集合。 4．集合的幂集 一个集合的幂集是指该集合所有子集的集合，即是由这些子集所组成的集合族。 定义3.1.5 设A为一集合，A的幂集是一集合族，记为P(A)， P(A)={B|B?A} 由定义可知，??P(A)，A?P(A)。 若|A|=n, 则|P(A)|=2n 5．文氏图 文氏(Venn)图是一种利用平面上的点构成的图形来形象展示集合的一种方法。全集U用一个矩形的内部表示，其他集合用矩形内的园面或一封闭曲线圈成的面积来表示。 如果A?B，则表示A的圆面一般将完全落在表示B的圆面内，如图1中(a)。如果A与B没有公共元素，那么表示A的圆面将同表示B的圆面分开，如图3-1中(b)。当A和B是两个任意的集合时，可能会是：有些元素在A中但不在B中，有些元素在B中却不在A中，有些元素同时在A和B中，有些元素则既不在A中也不在B中，因此用图1中(c)表示任意两个集合A和B。 图 3-1 最后给出集合的形式定义结束