第3章函数的数值逼近课件.ppt

定理： 在[a, b]上线性无关的充分必要条件是它的克莱姆(Gramer)行列式 ，其中 曲线拟合的最小二乘法 在科学实验的统计方法研究中，往往要从一组实验数据 中，寻找自变量 x 与因变量 y 之间的函数关系 。由于贯彻数据往往不准确，因此不要求 经过所有点 ，而只要求在给定点 上误差 按照某种标准最小。 若记 ，误差最小即要求向量 的范数 最小。如果采用最大范数，计算上困难较大，通常就采 用欧式范数 作为误差量度的标准。 关于最小二乘法的一般提法是： 对给定的一组数据 ，要求在函数类 中找到一个函数 ，使 误差平方和 其中 这就是一般的最小二乘逼近，用几何语言说，就称为曲线拟合的最小二乘法。 的一般表达式是 用最小二乘法求拟合曲线时，首先要确定 的形式。这不单纯是数学问题，还与所研究的运动规律及所得观测数据 有关。通常要从问题的运动规律及给定的数据描图，确定 的形式，并通过实际计算选出较好的结果。 所表示的线性形式。若 是k次多项式，那么 就是n次多项式。 为了使问题的提法更具有一般性，通常把最小二乘法中 都考虑成加权平方和。 其中 是[a, b]上的权函数，它表示不同点 处的数据比重不同。 例如 可表示在点 处重复观测的次数。 用最小二乘法求拟合曲线的问题，即求下式的最小值问题: 转化为求多元函数 的极小值问题 由多元函数极值的必要条件有： 若记 那么上式可写为 上面这个方程成为法方程，可以写成矩阵形式： 其中 由于 线性无关，故 从而得到函数 的最小二乘解为 因为 所以 ，存在唯一解： 可以证明这样得到的 对任何形如 的 都有 所以 确是所求最小二乘解。 例： x y (xi , yi) , i = 1, 2, …, m 方案一：设 b ax x x P y + = ? ) ( 求 a 和 b 使得 最小。 ? = - + = m i i i i y b ax x b a 1 2 ) ( ) , ( j But hey, the system of equations for a and b is nonlinear ! Take it easy! We just have to linearize it … 线性化 /* linearization */：令 ，则 bX a Y + ? 就是个线性问题 将 化为 后易解 a 和b。 ) , ( i i Y X ) , ( i i y x 方案二：设 x b e a x P y / ) ( - = ? ( a 0, b 0 ) 线性化：由 可做变换 x b a y - ? ln ln b B a A x X y Y - = = = = , ln , 1 , ln BX A Y + ? 就是个线性问题 将 化为 后易解 A 和B ) , ( i i Y X ) , ( i i y x 例 在某化学反应里，根据实验所得生成物的浓度与时间关系如右所示，求浓度与时间的拟合曲线 解： (1) 选取数学模型 求对数: 作变换:令 则求解模型变为: 于是，问题化为由已知