第3章参数估计课件.ppt

统计学 主编：费宇，石磊 第3章 参数估计 3.1 点估计及点估计的求法 3.2 点估计的评价标准 3.3 区间估计 【引例3.0】灯泡使用寿命 (数据文件为example3.0)某商场欲购买A、B两种牌号的灯泡，B牌号的灯泡的质量比A牌号的灯泡好一些，但价格也贵一些； 商场经理希望知道： 两种牌号的灯泡的平均使用寿命； 两种牌号的灯泡的平均使用寿命的差别； 现在随机选取A牌号的灯泡8只，B牌号的灯泡10只，测得使用寿命如下（单位：小时）： 已知信息 A牌号：950，1000，1100，900，1200，1050，1150，980； B牌号：1200，1350，1450，1100，1500，1000，1400，1300，1250，1150； 商场经理希望估计： （1）A、B两种牌号的灯泡平均使用寿命； （2）A、B两种牌号的灯泡平均使用寿命的差。 问题分析 问题：A、B两种牌号的灯泡平均使用寿命和灯泡平均使用寿命的差（这些都是总体的参数）是多少？ 已知条件：8只A牌号的灯泡的使用寿命和10只B牌号的灯泡的使用寿命（这些是样本信息）； 关键：利用抽样得到的样本信息来估计总体的有关参数--参数估计。 参数估计 参数估计(parameter estimation)，就是在抽样和抽样分布的基础上，根据样本信息（通常是样本统计量），对总体的未知参数（比如总体期望和总体方差）作出估计。 本章主要内容 介绍参数估计的两种形式：点估计和区间估计； 讨论参数估计的两种方法：矩估计法和最大似然估计法； 介绍评价估计量好坏的三个常用标准:无偏性、有效性和一致性； 讨论一个总体的参数估计和两个总体的参数估计问题。 3.1 点估计及点估计的求法 通常用θ表示总体参数(population parameter)，参数所有可能取值构成的集合称为参数空间(parameter space)，常用Θ表示。 参数估计有两种形式：点估计和区间估计 点估计 估计量和估计值 估计量和估计值是两个不同的概念，估计量是随机变量； 估计值是估计量关于一个给定样本的具体取值，是非随机的量。 但是今后，在不致混淆的情况下，我们把估计量和估计值都简称为估计。 点估计的构造 如何由样本来构造参数的点估计? 主要有四种方法：矩法、最小二乘法、最大似然法和贝叶斯法。 本章介绍矩估计法和最大似然法； 最小二乘法将在后面第6章回归分析里做详细讨论； 贝叶斯法估计不属于经典统计方法，本书不做介绍。 3.1.1 矩估计法 英国统计学家皮尔逊(K.Pearson) 1900年提出一种估计方法，它源于替换原理，用从样本观测得到的频率去估计相应的总体的概率，比如用样本次品率作为总体次品率的估计。 频率替代从某种意义上可以看成是用样本均值估计总体期望的估计方法。 矩估计 用样本矩去替换相应的总体矩，用样本矩的函数去替换相应的总体矩的函数，根据这个替换原理来求得估计量的方法称为矩估计法(简称为矩法)(moment estimation) 用矩估计法求得的估计量称为矩估计（量）(moment estimator)。 矩估计的求法 几个例子 几个例子 几个例子 几个例子 注意 矩估计法可能不惟一，比如例3.3中参数λ的矩估计； 矩估计法得到的估计在有些情况下可能不符合逻辑，比如例3.1中当样本的最大值大于两倍样本均值，那么采用两倍样本均值作为区间上限的估计显然不是一个合理的估计，因为区间上限θ至少与x(n)一样大。 3.1.2 最大似然法 1821年首先由德国数学家高斯(C.F.Gauss)提出； 英国统计学家费雪(R.A.Fisher)在1922年的论文《数理统计学的数学基础》(On the mathematical foundations of theoretical statistics)再次提出了这个思想，并且首先研究了这种方法的性质。 最大似然估计 最大似然估计的求法 最大似然估计的求法 对数似然函数 使得对数似然函数l(θ)=lnL(θ)达到最大，等价于使似然函数L(θ)达到最大， 但从对数似然函数出发求的最大似然估计更方便， 因此通常对对数似然函数求导来求得最大似然估计。 似然方程 几个例子 几个例子 几个例子 矩法和最大似然法的比较 矩估计法采用样本矩替换总体矩来估计参数，相当于使用了分布函数的部分信息； 最大似然估计法采用似然函数来求得参数的估计，理论上相当于使用了分布函数的全部信息； 在已知总体分布的前提下，采用最大似然估计法的理由更充分，而在总体分布函数未知但有关的总体矩已知的情况下，采用矩估计法更合适。 最大似然估计的不变性 3.2 点估计的评价标准 对于总体参数，采用不同的估计方法可能得到不同的估计量，一个自然而然的问题就是： 同一个参数的多个不同估计量哪