第4章常微分方程数值解课件.ppt

第4章 常微分方程数值解 4.1 微分方程在化工中的应用 4.2 欧拉（Euler）公式 4.3 龙格-库塔方法 4.4 常微分方程组的数值解法 4.5 程序示例及应用 4.1 微分方程在化工中的应用 微分方程在化工中应用的简单而又典型的例子是套管式换热器的稳态温度分布。首先作以下假设： 1、套管内侧为液体，其温度只随套管的长度改变而改变，忽略温度的径向变化；套管环隙为蒸汽，其温度在任何位置均为恒定值，可认为是饱和蒸汽的温度。 2、忽略套管内侧流体的纵向热传导。 3、在整个套管长度方向上，总传热系数K不变。 4.1 微分方程在化工中的应用 4.1 微分方程在化工中的应用 另一个在化工中常见的微分方程是物料冷却过程的数学模型，其模型可用下式表示： 4.1 微分方程在化工中的应用 在化工模拟中主要碰到的是常微分方程的初值问题： 4. 2 欧拉（Euler）公式 4.2.1 向前欧拉公式 4.2.2 向后欧拉公式 4.2.3 中心欧拉公式 4.2.4 梯形公式 4.2.1 向前欧拉公式 4.2.1 向前欧拉公式 实例 例4.1：假定某物体的温度w因自热而产生的热量可以使物体在每秒钟内以4%的速度增长，同时该物体由于散热可使其温度在每秒种内下降100k，则物体温度随时间变化的微分方程： （t以秒为单位) 分别以初始温x(0)=1500k，y(0)=2500k，z(0)=3500k用欧拉公式预测24秒后的物体温度趋势。 4.2.1 向前欧拉公式 实例 解： w0分别以x0=1500，y0=2500，z0=3500代入。计算结果见表4-1。 4.2.1 向前欧拉公式 实例 从表4-1可以看到当自热引起物体温度升高的速度小于散热引起温度下降的速度，物体的温度随时间而逐渐减少：当自热引起物体温度升高的速度与散热引起温度下降的速度平衡时，物体的温度保持不变；当自热引起物体温度升高的速度大于散热引起温度下降的速度，物体的温度随时间而增长。在图4-3中L1，L2，L3分别表示初始值3500，2500和1500的三条温度变化趋势曲线。 4.2.2 向后欧拉公式 4.2.3 中心欧拉公式 y(x)的在x=x1处的中心差商式： 又 ，可得到y(x2)的近似值y2计算公式： 类似地，可得到计算y(xn+1)近似值yn+1的计算公式： 公式(4-8)称为中心格式。按公式(4-8)，需要知道yn-1, yn的值才能求得yn+1的值。因此，要先用其它公式计算出y1，再用中心格式算出y2, y3,…。y1可用向前欧拉公式计算，为提高精度，也可用向后欧拉公式计算。 4.2.4 梯形公式 梯形公式： 4.2.4 梯形公式 实例 例4.2：请用预估-校正公式（改进的欧拉公式）解右面初值问题： 4.2.4 梯形公式 实例 4.3 龙格-库塔方法 本课程主要研究其实际应用,，故直接给出各类龙格-库塔公式。 4.3 龙格-库塔方法 2、三阶龙格-库塔公式 4.3 龙格-库塔方法 3、四阶龙格—库塔公式 4.3 龙格-库塔方法 实例 例4.3：用四阶龙格—库塔公式(4-16)求解下面初值问题 4.3 龙格-库塔方法 步长的选择 下面以四阶龙格-库塔方法为例，说明如何自动选择步长，使计算结果满足给定精度的要求。 设从节点xn出发，先以h为步长，利用四阶龙格-库塔公式方法经过一步计算得y(xn+1)的近似值，记为 ，由于公式的局部截断误差是y(h5)，故有 当h不大时，c可近似地看作常数。然后将步长h对折，即取h/2为步长，从出发经过两步计算求y(xn+1)的近似值，记为 ，每一步计算的局部截断误差为c(h/2)5，于是就有 4.3 龙格-库塔方法 步长的选择 把它与（4-18）式相比，可得： 4.3 龙格-库塔方法 步长的选择 这表明以 作为y(xn+1) 的近似值，其误差可用先后两次计算结果之差来表示，因而，只需考察 是否成立。若成