第4章弹塑性力学的解题修改课件.ppt

第四章 弹塑性力学的解题方法 第二节 按应力求解弹性力学问题 第三节 平面问题和应力函数 第四节 逆解法和半逆解法 第六节 平面问题的极坐标解答 其特征方程为： 解为： 所以原方程的通解为： 则有： 因为： 所以： 为线性项，它不影响应力表达式，可略去，得： 下面来确定常数C，D： 显然在左，右两面的应力边界条件是： 已自动满足 在楔体取一圆柱面 ，则上部应满足平衡条件，即： 积分得： 略去 中对应力分量无影响的常数项和一次项，则： （3） 则有： （4） 根据下列边界条件，确定积分常数： （5） 但由该条件确定不了常数，因此可以考虑用等效力系代替，从而找到常数，这也是符合圣维南原理的。 在上端面用等效条件： ① 方向的合力为零， 将 的表达式代入： 代B进入（5）式有： ② 方向的合力为零即： 积分得： （7） ③ 合力矩为零即： 积分为： （8） 由（7）、（8）两式得： 第五节 边界上 及其导数的力学意义 用应力函数表示的边界条件为： 应力函数的引入，给求解平面问题带来了很大的方便，为了更有效地确定所给问题的应力函数，研究边界上 及其导数的力学意义是非常必要的。 （4－23） 现有一边界如图所示。 假设 的方向是由A点出发反时针方向为正，在AB之间取一段微弧 为正，相应 的 为正， 为负， 均为正，这时有（当 很小时）： 其中， 是 方向与 轴正向的夹角。推出： 由式（4－23）得出： 由高等数学定义的方向导数： （4－24） 现由A点出发，沿逆时针方向在边界上积分，求出合力分量：即： (4－25) (4－26) 式中， 和 代表边界AB 段上边界力的合力在 和 方向分量的大小 。 当初始点的 和 的值为已知，则可求出 和 。 若由A点开始，沿反时针方向在边界上积分求合力矩： 对原点O： 因为： 所以 （4－27） 式中， 为AB 段边界力对B点的矩。 由此可见，一旦A点确定，而且 已知，则可求出终点的 。 若设： 则有： 由上面分析可以看出，由于线性项不影响应力，所以 中的线性项 可以去掉，既是说可以假定 为零。即初始点可任意取，这就给出了利用边界条件确定应力函数特性的一种方法。 〖例1 P153 〗 解：A点为始点，并令： AB 边：（注意逆时针转） BC 边：（此时是对图示的 点取矩） 在 C 点： CD边： DA 边： 现将边界上的 值画于图（4－8），由以上分析，可以假设: 它满足双调和方程，同时满足边条，应力分量可推出为： 书中（2 P155）可自看。 结论：由于起始点不同，因而应力函数也不一样，由于只差常数项和一次项，因而求解的应力结果相同。 〖例2 P156 〗 解：（1）用半逆解法 由材料力学知，任意截面 上的弯距与 成正比，而截面上任意点处的应力分量 与该点到中性轴的距离成正比，所以可设： ，这也是一种方法。 积分得： 代入双调和方程： 上式对任意 均成立， 求解略去（前面有过类似介绍）。 （2）用边界上 及其导数的力学意义的方法 取初始点A，令： AB边： CD边： 因此，可假设： 此时边条可写为：在 处， 在 处， 将 代入双调和方程，得： 积分得： 由于边界条件：AB、CD边 及 为已知，故有： （1） （2） （3） （4） （2）－（4） （1）＋（3） 边界条件：AB边： BC边： CD边： 这里要注意：把集中力 放在左端考虑等效条件，而CD边则应精确满足边条。 由 表达式： 这一结果显然满足上、下面的边条，而对于左、右面只能满足合力、合力矩相等的等效条件。 左端： 右端： 按平面应力问题考虑时，