第5次课线性代数中的数值计算-修订课件.ppt

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第5次课线性代数中的数值计算-修订课件.ppt

线性代数中的数值计算 【学习目标】 ● 掌握生成特殊矩阵的方法。 ● 掌握矩阵分析的方法。 ● 掌握求解线性方程组的各种方法。 ● 了解矩阵的稀疏存储方式。 特殊矩阵的生成 通用的特殊矩阵 ● zeros函数:产生全0矩阵,即零矩阵。 ● ones函数:产生全1矩阵,即幺矩阵。 ● eye函数:产生单位矩阵,即对角线上的元素为1、其余元素为0的矩阵。 ● rand函数:产生0~1均匀分布的随机矩阵。 ● randn函数:产生均值为0、方差为1的标准正态分布随机矩阵。 zeros函数的调用格式如下。 ● zeros(m):产生m?×?m零矩阵。 ● zeros(m,n):产生m?×?n零矩阵。当m?=?n时,等同于zeros(m)。 ● zeros(size(A)):产生与矩阵A同样大小的零矩阵。 【例】分别建立3?×?3、3?×?2和与矩阵A同样大小的零矩阵。 (1)建立一个3?×?3的零矩阵。 zeros(3) ans= 0 0 0 0 0 0 0 0 0 (2)建立一个2?×?3的零矩阵。 zeros(2,3) (3)设A为2?×?3矩阵,则可以用zeros(size(A))建立一个与矩阵A同样大小的零矩阵。 A=[1 2 3;4 5 6]; %产生一个2×3阶矩阵A zeros(size(A)) %产生一个与矩阵A同样大小的零矩阵 【例】建立随机矩阵: (1)在区间[10,?30]内均匀分布的4阶随机矩阵。 (2)均值为0.6、方差为0.1的4阶正态分布随机矩阵。 产生(0,1)区间均匀分布随机矩阵使用rand函数,假设得到了一组满足(0,1)区间均匀分布的随机数xi,则若想得到在任意[a,?b]区间上均匀分布的随机数,只需用yi?=?a?+?(b???a)xi计算即可。 产生均值为0、方差为1的标准正态分布随机矩阵使用randn函数,假设已经得到了一组标准正态分布随机数xi,如果想得到均值为μ、方差为σ2的随机数,可用yi?=?μ?+?σxi计算出来。针对本例,命令如下: a=10; b=30; x=a+(b-a)*rand(4) y=0.6+sqrt(0.1)*randn(4) 面向特定应用的特殊矩阵 1.魔方矩阵 魔方矩阵有一个有趣的性质,其每行、每列及两条对角线上的元素和都相等。对于n阶魔方阵,其元素由1,2,3,…,n2共n2个整数组成。MATLAB提供了求魔方矩阵的函数magic(n),其功能是生成一个n阶魔方阵。 【例】将101~125等25个数填入一个5行5列的表格中,使其每行、每列及对角线的和均为565。 一个5阶魔方矩阵的每行、每列及对角线的和均为65,对其每个元素都加100后这些和变为565。完成其功能的命令如下: M=100+magic(5) M= 117 124 101 108 115 123 105 107 114 116 104 106 113 120 122 110 112 119 121 103 111 118 125 102 109 2.范得蒙矩阵 范得蒙(Vandermonde)矩阵的最后一列全为1,倒数第二列为一个指定的向量,其他各列是其后列与倒数第二列的点乘积。可以用一个指定向量生成一个范得蒙矩阵。在MATLAB中,函数vander(V)生成以向量V为基础向量的范得蒙矩阵。 3.希尔伯特矩阵 希尔伯特(Hilbert)矩阵是一种数学变换矩阵,它的每个元素hij?=?1/(i?+?j???1)。在MATLAB中,生成希尔伯特矩阵的函数是hilb(n)。 专门求希尔伯特矩阵的逆的函数invhilb(n) 4.托普利兹矩阵 托普利兹(Toeplitz)矩阵除第一行第一列外,其他每个元素都与左上角的元素相同。生成托普利兹矩阵的函数是toeplitz(x,y),它生成一个以x为第一列、y为第一行的托普利兹矩阵。这里x、y均为向量,两者不必等长。toeplitz(x)用向量x生成一个对称的托普利兹矩阵。 5.伴随矩阵 生成伴随矩阵的函数是compan(p),其中p是一个多项式的系数向量,高次幂系数排在前,低次幂排在后。例如,为了求多项式的x3???7x?+?6的伴随矩阵,可使用如下命令: p=[1,0,-7,6]; compan(p) ans= 0 7 -6 1 0 0 0 1 0 6.帕斯卡矩阵 我们知道,二次项(x

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