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全国高中数学联赛模拟试题（一） （命题人：吴伟朝） 第一试 选择题：（每小题6分，共36分） 方程6×(5a2＋b2)＝5c2满足c≤20的正整数解(a,b,c)的个数是 （A）1 （B）3 （C）4 （D）5 函数（x∈R，x≠1）的递增区间是 （A）x≥2 （B）x≤0或x≥2 （C）x≤0 （D）x≤或x≥ 过定点P(2,1)作直线l分别交x轴正向和y轴正向于A、B，使△AOB（O为原点）的面积最小，则l的方程为 （A）x＋y－3＝0 （B）x＋3y－5＝0 （C）2x＋y－5＝0 （D）x＋2y－4＝0 若方程cos2x＋sin2x＝a＋1在上有两个不同的实数解x，则参数a的取值范围是 （A）0≤a＜1 （B）－3≤a＜1 （C）a＜1 （D）0＜a＜1 数列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,5,5,5,5,6,…的第1000项是 （A）42 （B）45 （C）48 （D）51 在1,2,3,4,5的排列a1,a2,a3,a4,a5中，满足条件a1＜a2，a2＞a3，a3＜a4，a4＞a5的排列的个数是 （A）8 （B）10 （C）14 （D）16 填空题：（每小题9分，共54分） 1、[x]表示不大于x的最大整数，则方程×[x2＋x]＝19x＋99的实数解x是 ． 2、设a1＝1，an+1＝2an＋n2，则通项公式an＝ ． 3、数799被2550除所得的余数是 ． 4、在△ABC中，∠A＝，sinB＝，则cosC＝ ． 5、设k、?是实数，使得关于x的方程x2－(2k＋1)x＋k2－1＝0的两个根为sin?和cos?，则?的取值范围是 ． 6、数（n∈N）的个位数字是 ． （20分） 已知x、y、z都是非负实数，且x＋y＋z＝1． 求证：x(1－2x)(1－3x)＋y(1－2y)(1－3y)＋z(1－2z)(1－3z)≥0，并确定等号成立的条件． （20分） 求出所有的实数a，使得关于x的方程x2＋(a＋2002)x＋a＝0的两根皆为整数． 试求出所有的实数a，使得关于x的方程x3＋(－a2＋2a＋2)x－2a2－2a＝0有三个整数根． （20分） 试求正数r的最大值，使得点集T＝{(x,y)|x、y∈R，且x2＋(y－7)2≤r2}一定被包含于另一个点集S＝{(x,y)|x、y∈R，且对任何?∈R，都有cos2?＋xcos?＋y≥0}之中． 第一试 一、选择题： 题号 1 2 3 4 5 6 答案 C C D A B D 二、填空题： 1、或； 2、7×2n-1－n2－2n－3； 3、343； 4、； 5、{?|?＝2n?＋?或2n?－，n∈Z} ；6、1（n为偶数）；7（n为奇数）． 三、证略，等号成立的条件是或或或． 四、（1）a的可能取值有0，－1336，－1936，－1960，－2664，－4000，－2040；（2）a的可能取值有－3，11，－1，9． 五、rmax＝． 第二试 一、（50分） 设a、b、c∈R，b≠ac，a≠－c，z是复数，且z2－(a－c)z－b＝0． 求证：的充分必要条件是(a－c)2＋4b≤0． 二、（50分） 如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB均是锐角，D是BC边上的内点，且AD平分∠BAC，过点D分别向两条直线AB、AC作垂线DP、DQ，其垂足是P、Q，两条直线CP与BQ相交与点K．求证： AK⊥BC； ，其中表示△ABC的面积． 三、（50分） 给定一个正整数n，设n个实数a1,a2,…,an满足下列n个方程： ． 确定和式的值（写成关于n的最简式子）． 参考答案 第一试 一、选择题： 题号 1 2 3 4 5 6 答案 C C D A B D 二、填空题： 1、或； 2、7×2n-1－n2－2n－3； 3、343； 4、； 5、{?|?＝2n?＋?或2n?－，n∈Z} ；6、1（n为偶数）；7（n为奇数）． 三、证略，等号成立的条件是或或或． 四、（1）a的可能取值有0，－1336，－1936，－1960，－2664，－4000，－2040；（2）a的可能取值有－3，11，－1，9． 五、rmax＝． 第二试 一、证略（提示：直接解出，通过变形即得充分性成立，然后利用反证法证明必要性）． 二、证略（提示：用同一法，作