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全国高中数学联赛模拟试题（六） （命题人：秦永 苟春鹏） 第一试 选择题：（每小题6分，共36分） 在复平面上，非零复数z1、z2在以i对应的点为圆心，1为半径的圆上，的实部为零，argz1=，则z2= （A） （B） （C） （D） 已知函数在[1,2]上恒正，则实数a的取值范围是 （A） （B） （C） （D） 已知双曲线过点M((2,4)，N(4,4)，它的一个焦点为F1(1,0)，则另一个焦点F2的轨迹方程是： （A）（y≠0）或x=1（y≠0） （B）（x≠0）或x=1（y≠0） （C）（y≠0）或y=1（x≠0） （D）（x≠0）或y=1（x≠0） 已知正实数a、b满足a+b=1，则的整数部分是 （A）1 （B）2 （C）3 （D）4 一条笔直的大街宽是40米，一条人行道穿过这条大街，并与大街成某一角度，人行道的宽度是15米，长度是50米，则人行道间的距离是 （A）9米 （B）10米 （C）12米 （D）15米 一条铁路原有m个车站，为适应客运需要新增加n个车站（n＞1），则客运车票增加了58种（注：从甲站到乙站需要两种不同的车票），那么原有车站的个数是 （A）12 （B）13 （C）14 （D）15 填空题：（每小题6分，共36分） 长方形ABCD的长AB是宽BC的倍，把它折成无底的正三棱柱，使AD与BC重合折痕线EF、GH分别交原对角线AC于M、N，则折后截面AMN与底面AFH所成的角是 ． 在△ABC中，a、b、c是角A、B、C的对边，且满足a2+b2=2c2，则角C的最大值是 ． 从盛满a升（a＞1）纯酒精的容器里倒出1升，然后填满水，再倒出1升混合溶液后又用水填满，如此继续下去．则第n次操作后溶液的浓度是 ． 已知函数f(x)与g(x)的定义域均为非负实数集，对任意x≥0，规定f(x)*g(x)=min{f(x),g(x)}．若f(x)=3(x，g(x)=，则f(x)*g(x)的最大值为 ． 从1到100的自然数中，每次取出不同的两个数，使它们的和大于100，则可有 不同的取法． 若实数a＞0，则满足a5(a3+a=2的a值属于区间：①；②；③；④．其中正确的是 ． （20分） 求证：经过正方体中心的任一截面的面积不小于正方体的一个侧面的面积 （20分） 直线Ax+Bx+C=0（A·B·C≠0）与椭圆b2x2+a2y2=a2b2相交于P、Q两点，O为坐标原点，且OP⊥OQ．求证：． （20分） 某新建商场建有百货部、服装部和家电部三个经营部，共有190名售货员，计划全商场日营业额（指每日卖出商品的总金额）为60万元，根据经验，各部商品每1万元营业额所需售货员人数如表1，每1万元营业额所得利润如表2．商场将计划日营业额分配给三个经营部，同时适当安排各部的营业员人数，若商场预计每日的总利润为c（万元）且满足19≤c≤19.7，又已知商场分配给经营部的日营业额均为正整数万元，问这个商场怎样分配日营业额给三个部？各部分别安排多少名售货员？ 表1 各部每1万元营业额所需人数表 部门 人数 百货部 5 服装部 4 家电部 2 表2 各部每1万元营业额所得利润表 部门 利润 百货部 0.3万元 服装部 0.5万元 家电部 0.2万元 第二试 （50分） 矩形ABCD的边AD=?·AB，以AB为直径在矩形之外作半圆，在半圆上任取不同于A、B的一点P，连PC、PD交AB于E、F，若AE2+BF2=AB2，试求正实数?的值50分） 若ai∈R+（i=1,2,…,n），，且2≤n∈N． 求证：≥． （50分） 无穷数列{cn}可由如下法则定义：cn+1=|1(|1(2cn||，而0≤c1≤1． （1）证明：仅当c1是有理数时，数列自某一项开始成为周期数列． （2）存在多少个不同的c1值，使得数列自某项之后以T为周期（对于每个T=2,3,…）？ 参考答案 第一试 一、选择题： 题号 1 2 3 4 5 6 答案 A C A B C C 二、填空题： 1、； 2、； 3、； 4、； 5、2500； 6、③④． 三、证略． 四、证略． 五、8，23，29或10，20，30（万元），对应40，92，58或50，80，60（人）． 第二试 一、； 二、证略． 三、 （1）证略． （2）无穷个． 第 1 页 共 5 页