第5章留数1课件.ppt

Part 5. 留数 Lesson11: 孤立奇点 Lesson12: 零点和极点的关系; 留数 前情提要 Taylor级数和Laurent级数的形式 作业 级数逐项求导时, 注意n的范围 通项一律写成n次(或2n,2n+1) 第五章 留数 主要内容 §1 孤立奇点 §2 留数 §3 留数在定积分上的应用 主要内容： 利用洛朗级数对孤立奇点进行分类； 留数定理 1、C-G定理、Cauchy积分是留数定理 的特殊情况； 2、计算 转化为求留数； 3、应用留数定理可计算一些定积分和广 义积分。 返回 §1孤立奇点 一、孤立奇点的概念： 1、定义1；2、例1 二、孤立奇点的分类 1、定义2(洛朗级数判别法)；2、特征；3、例2 三、奇点的极限判别法： 1、定理1；2、例3；3、判断极点阶数；4、例4 四、函数的零点及零点与极点的关系 1、定义3；2、定理2；3、定理3；4、例4* 返回 一、孤立奇点的概念 1.定义1: 在 处不解析， 内处处解析， 的孤立奇点。 奇点：使函数不解析的点称为奇点 在孤立奇点 处的空心邻域中展开成的幂级数——洛朗级数 处解析 及 的邻域内处处可导 的某个去心邻域 但在 为 则称 返回 ╬ §1 孤立奇点 求孤立奇点的过程 先找函数的所有奇点(不解析点) 再按定义判断是否孤立 2、[例1] 求下列函数的孤立奇点 （1） 解：唯一奇点 为孤立奇点。 返回 ╬ 为孤立奇点, 外的其它奇点 的任何一个邻域内都有除 解： ①： 不为孤立奇点， ②： 因为在 返回 ╬ （2） 1、孤立奇点的分类和特性 利用洛朗级数给孤立奇点分类 即：展开式中不含 的负幂次项， （1）可去奇点 在 处的洛朗级数为： 若 为可去奇点。 则称 下一页 可去奇点、 极点、 本性奇点 返回 二、孤立奇点的分类 ╬ 特性：若 在 处无定义， 可以补充定义， 在 处不为 或 ，从而 在 处解析。 [例2-1] 求下列函数的奇点，如是可去奇 点，则补充定义使之在该点解析。 为孤立奇点，且 补充定义： 所以： 为可去奇点； 在 处解析。 则： 解： 下一页 ╬ （2）极点 即：展开式中只有有限个 的负幂次项，则称 为 的极点。 最大值为m ，则称z0为m级极点。 在 处的洛朗级数为： 若 若负幂次项的次数绝对值的 下一页 上一页 返回 ╬ 级极点的特性 如果 ，而 在 处解析且 返回 上一页 ╬ 分析： 特性： 则 为f(z)的m级极点。 [例2-2] 解： 在 处解析， 所以： 为３级极点； 为１级极点。 同理： 且 上一页 下一页 为孤立奇点， ╬ （3）本性奇点 的负幂次项，则称 在 处的洛朗级数为： 若 即：展开式中有无限个 为 的本性奇点。 上一页 返回 ╬ 特性：不能乘以某个幂函数使之变成不存在负幂次项的函数。 [例2-3] 解： 所以： 为本性奇点。 返回 上一页 为孤立奇点， ╬ 1、定理1： 1） 例 3 ╬ 设 是f(z)的孤立奇点，则有下列充分必要条件： 2） 3） 返回 三、奇点的极限判别法： 2、[例3] 指出下列各函数在指定孤立奇点处的类型 ，所以 是可去奇点。 1、 是本性奇点。 因为 解： 2、 解： ，所以 是极点。 3、 不存在，所以 解： ╬ 返回 怎样判断极点阶数 若： 则 为m级极点。 ╬ 返回 所以 为3 级极点 解：因为 3、判断极点的阶数 例如： 4、[例3] 求下列各函数在z平面上的所有奇点，并指出它们的类型； （1） （2） （3） （4） （5） 返回 ╬ （1） 解： 为奇点， 且 在 处解析， 所以 为３级极点。 返回 ╬ （2） 且 所以 为１级极点。 解：由 为奇点 处解析， 而 在 返回 ╬ （3） 为奇点， 为可去奇点。 解： 因为： 或： 返回 ╬ 补充定义： 则f(z)在0处解析。 （4） 方法一： 不存在( )，所以为本性奇点。 因有无穷多个负幂次项，所以为本性奇点。 解： 为奇点 方法二： 返回 ╬ （5） 为奇点， 所以为１级极点。 所以为１级极点。 解： 方法一： 方法二： 返回 ╬ [作业] P183 1(1，2，4，6) 返回