第5章留数理论及应用1课件.ppt

第五章 留数 1.解析函数的孤立奇点： 孤立奇点的分类—可去奇点： 孤立奇点的分类-极点： 孤立奇点的分类—本性奇点： 2.函数的零点与极点的关系 5.函数在无穷远处的形态 §5.2 留数定理 1.留数的定义及留数定理 3.在无穷远点的留数 定理二: * * 1 孤立奇点 设函数f(z)在去掉圆心的圆盘 内确定并且解析，那么我们称 为f(z)的孤立奇点。在D内，f(z)有洛朗展式 其中 是圆 一般地，对于上述函数f(z)，按照它的洛朗展式含负数幂的情况，可以把孤立奇点分类如下： （1）、如果当时n=-1,-2,-3,…， 那么我们说 是f(z)的可去奇点，或者说f(z)在 有可去奇点。 这是因为令 ，就得到在整个圆盘 内的解析函数f(z)。 （2）如果只有有限个（至少一个）负整数n，使得 那么我们说 是f(z)的极点。 设对于正整数m， 而当n-m时， 那么我们 是f(z)的m阶极点。按照m=1或m1，我们也称 是f(z)的单极点或m重极点。 （3）如果有无限个整数n0，使得 那么我们说 是f(z)的本性奇点。 总结以上论述: 0分别是 的可去奇点、单极点及本性奇点。 （6） （2）m阶极点情况 解： 说明z＝1是 的一阶极点，且留数 解： 是 的一阶零点（注），是 的一阶极点，有 解： （1） 是 的一阶极点： （2） 是 的三阶极点： 方法2 根据公式（8），m＝3有