第5章留数课件.ppt

第五章 留数 §5.3留数理论在实积分中的应用 * §5.1 孤立奇点 §5.2 留数(Residue) 1. 零点和孤立奇点的定义 2. 孤立奇点分类 3. 孤立奇点性质 4. 零点与极点的关系 §5.1 孤立奇点 1.零点和孤立奇点的定义 定义5.1.1 f (z)在z0解析，如果有下面性质 则称z=z0为f (z) 的m 阶零点。 例如： 结论1 点 零点： 定理5.1.1： 例如 ----z=0为孤立奇点 ----z=1为孤立奇点 ~~~~~~~~ 孤立奇点： x y o 这说明奇点未必是孤立的。 ----z=0及z=1/n? (n = ?1 , ?2 ,…)都是它的奇点 2.孤立奇点分类 以下将f (z)在孤立奇点的邻域内展成洛朗级数，根 据展开式的不同情况，将孤立点进行分类。考察： 特点： 没有负幂次项 特点： 只有有限多个负幂次项 特点： 有无穷多个负幂次项 定义5.1.2 设z0是f (z)的一个孤立奇点，在z0 的去心邻域内, 若f (z)的洛朗级数 没有负幂次项，称z=z0为可去奇点; 只有有限多个负幂次项，称z=z0为m 阶极点; 有无穷多个负幂次项，称z=z0为本性奇点。 ~~~~~~~~ ~~~~~~~~ ~~~~~~~~ 3.孤立奇点性质 　若z0为f (z)的可去奇点 　若z0为f (z)的本性奇点 　若z0为f (z)的极点 定理5.1.2 定理5.1.3 定理5.1.5 4. 零点与极点的关系 定理5.1.4: 例如 例1 解　 所以， z=0 是z-sinz的三阶零点，是f(z)的三阶极点 例2 解　 所以， z=0 是f(z)的二阶极点 由上述定理得到如下结论： 结论2 结论3 例3 解　 1. 留数的定义 2. 留数定理 3. 留数的计算规则 §5.2 留数(Residue) 1. 留数的定义 定义5.2.1　设 z0 为 f (z) 的孤立奇点， f (z) 在 z0 邻域内的洛朗级数中负幂次项 (z- z0)–1 的系数 c–1 称为f (z)在 z0 的留数，记作 Res [f (z), z0] 或 Res f (z0)。 由留数定义,　 Res [f (z), z0]= c–1 　　　　(1) 2. 留数定理 定理5.2.2 证明 D c zn z1 z3 z2 由复合闭路定理得： 用2?i 除上式两边得: 得证！ 求沿闭曲线c的积分，归之为求在c中各孤立 奇点的留数。 一般求 Res [f (z), z0] 是采用将 f (z) 在 z0 邻域内 展开成洛朗级数求系数 c–1 的方法, 但如果能先知道 奇点的类型，对求留数更为有利。 以下就三类孤立奇点进行讨论： 3. 留数的计算规则 例1 解 例2 解 规则I 事实上， 得证 规则II 事实上， 得证 规则III 事实上 　当m=1时，式(3)即为式(1). 得证 例1 解 例2 解 例3 解