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2011北京各区数学一模试题分类汇编——立体几何 （朝阳理16） 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，且，，侧面底面. 若. （Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）侧棱上是否存在点，使得平面？若存在，指出点 的位置并证明，若不存在，请说明理由； （Ⅲ）求二面角的余弦值. 解法一： （Ⅰ）因为 ，所以. 又因为侧面底面，且侧面底面， 所以底面. 而底面， 所以. 在底面中，因为，， 所以 ， 所以. 又因为， 所以平面. ……………………………4分 （Ⅱ）在上存在中点，使得平面， 证明如下：设的中点是， 连结，，， 则，且. 由已知， 所以. 又， 所以，且， 所以四边形为平行四边形，所以. 因为平面，平面， 所以平面. ……………8分 （Ⅲ）设为中点，连结， 则 . 又因为平面平面， 所以 平面. 过作于， 连结，由三垂线定理可知. 所以是二面角的平面角. 设，则, . 在中，，所以. 所以 ，. 即二面角的余弦值为. ………………………………13分 解法二： 因为 ， 所以. 又因为侧面底面， 且侧面底面， 所以 底面. 又因为， 所以，，两两垂直. 分别以，，为轴， 轴，轴建立空间直角坐标系，如图. 设，则，，，，. （Ⅰ），，, 所以 ，，所以，. 又因为， 所以平面. ………………………………4分 （Ⅱ）设侧棱的中点是， 则，. 设平面的一个法向量是，则 因为，， 所以 取，则. 所以， 所以. 因为平面，所以平面. ………………………………8分 （Ⅲ）由已知，平面，所以为平面的一个法向量. 由（Ⅱ）知，为平面的一个法向量. 设二面角的大小为，由图可知，为锐角， 所以. 即二面角的余弦值为. ………………………………13分 （朝阳文17） 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，且，，侧面底面，. 若. （Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）设侧棱的中点是，求证：平面. 解：（Ⅰ）因为 ， 所以. 又因为侧面底面， 且侧面底面， 所以底面. 而底面， 所以. 在底面中， 因为，， 所以 ， 所以. 又因为， 所以平面. ……………………………6分 （Ⅱ）设侧棱的中点为， 连结，，， 则，且. 由已知， 所以. 又， 所以. 且. 所以四边形为平行四边形，所以. 因为平面，平面， 所以平面. ………………………………………………………13分 （丰台理16） 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD//BC，∠ADC=90°，平面PAD⊥底面ABCD，Q为AD的中点，M是棱PC上的点，PA=PD=2，BC=AD=1，CD=． （Ⅰ）若点M是棱PC的中点，求证：PA // 平面BMQ； （Ⅱ）求证：平面PQB⊥平面PAD； （Ⅲ）若二面角M-BQ-C为30°，设PM=tMC，试确定t的值 ． 证明：（Ⅰ）连接AC，交BQ于N，连接MN． ∵BC∥AD且BC=AD， ∴四边形BCQA为平行四边形，且N为AC中点， 又∵点M在是棱PC的中点，∴ MN // PA ∵ MN平面MQB，PA平面MQB， ∴ PA // 平面MBQ． （Ⅱ）∵AD // BC，BC=AD，Q为AD的中点， ∴四边形BCDQ为平行四边形，∴CD // BQ ． ∵∠ADC=90° ∴∠AQB=90° 即QB⊥AD． 又∵平面PAD⊥平面ABCD 且平面PAD∩平面ABCD=AD， ∴BQ⊥平面PAD． ∵BQ平面PQB，∴平面PQB⊥平面PAD． …………………9分 另证：AD // BC，BC=AD，Q为AD的中点， ∴ 四边形BCDQ为平行四边形，∴CD // BQ ． ∵ ∠ADC=90° ∴∠AQB=90°． ∵ PA=PD， ∴PQ⊥AD． ∵ PQ∩BQ=Q， ∴AD⊥平面PBQ． ∵ AD平面PAD，∴平面PQB⊥平面PAD．……9分 （Ⅲ）∵PA=PD，Q为AD的中点， ∴PQ⊥AD． ∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD， ∴PQ⊥平面ABCD． 如图，以Q为原点建立空间直角坐标系． 则平面BQC的法向量为；，， ，． 设，则，， ∵， ∴ ， ∴ …………………12分 在平面MBQ中，，， ∴ 平面MBQ法向量为． ∵二面角M-BQ-C为30°， ， ∴ ． ……………………14分 （丰台文16） 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形