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2012年北京市高三第一学期抽样检测（二） 数学（理科） 本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分。第Ⅰ卷1至2页、第Ⅱ卷3至5页，共150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效，考试结束后，将本试卷和答题卡。 第Ⅰ卷（选择题 共40分） 一、本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。 1. 已知集合,,则（ ） A. B. C. D. 2. 在等差数列{}的前13项之和为，则等于（ ） (A)12　　　　　 (B) 　　 (C)　3　 (D) 1 3．已知直线平面，直线平面，则“”是“”的 （ ） A． B． C． D．次数学考试中，成绩统计用茎叶图表示如下，若甲、乙两人的平均成绩分 别用、表示，则下列结论正确的是 （A），且甲比乙成绩稳定 （B），且乙比甲成绩稳定 （C），且甲比乙成绩稳定 （D），且乙比甲成绩稳定 5. 下列四个正方体图形中，为正方体的两个顶点，分别为其所在棱的中点，能得出 平面的图形的序号是（ ） A. ①、③ B. ①、④ C. ②、③ D. ②、④ 5．如图给出的是计算的 一个程序框图，其中判断框内应填入的条件 是 （A） （B） （C） （D） 7. 函数f (x)的定义域为D，若对于任意，当时，都有，则称函数在D上为非减函数 . 设函数f (x)在[0，1]上为非减函数，且满足以下三个条件：； ； . 则等于（ ） A. B. C. 1 D. 8．设集合，集合，若中含有3个元素，中至少含有2个元素，且中所有数均不小于中最大的数，则满足条件的集合有 （A）33组 （C）32组 （B）29组 （D）7组 第II卷（共110分） 二．填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。 9．计算的值为 10．如图，函数在点处的切线方程为，则 . 11. 在区间上任取两个数，则方程没有实根的概率为 . 12. 已知两点，，若抛物线上存在点使为等边三角形，则__或 _______ . 13. 如图，已知⊙的直径，为圆周上一 点，，过点作⊙的切线，过点作 的垂线，垂足为，则___________． 14.设，对于数列(…，…，), 令为…，中的最大值，称数列为的“递进上限数列”.例如数列的递进上限数列为2,2,3,7,7.则下面命题中 ①若数列满足，则数列的递进上限数列必是常数列 ②等差数列的递进上限数列一定仍是等差数列 ③等比数列的递进上限数列一定仍是等比数列 正确命题的序号是______②_______ 三、解答题：本大题共6小题，共80分。解答写出文字说明，演算步骤或证明过程。 15．（本小题满分13分） 已知函数． （Ⅰ）求的最小正周期； （Ⅱ）设，判断函数的奇偶性，并加以证明． 解：（Ⅰ） ………………… 2分 ………………… 4分 ………………… 6分 故的最小正周期为． ………………… 7分 （Ⅱ） ………………… 9 分 …………………11分 因为， 所以函数是偶函数． …………………13分 16．（本小题满分14分） 已知三棱柱的侧棱垂直于底面， ，，，， 分别是，的中点． （Ⅰ）证明：； （Ⅱ）证明：平面； （Ⅲ）求二面角的余弦值． ．解法一： （Ⅰ）证明：因为平面， 所以是在平面内的射影， ………………… 2 分 由条件可知， 所以． ………………… 4 分 （Ⅱ）证明：设 的中点为， 连接，. 因为，分别是，的中点