各地市中考数学压轴题目汇总.docVIP

各地中考数学压轴题汇总（一） 17.（2005浙江台州）如图，在平面直角坐标系内，⊙C与y轴相切于D 点，与x轴相交于A（2，0）、B（8，0）两点，圆心C在第四象限. 求点C的坐标； 连结BC并延长交⊙C于另一点E，若线段BE上有一点P，使得 AB2＝BP·BE，能否推出AP⊥BE？请给出你的结论，并说明理由； 在直线BE上是否存在点Q，使得AQ2＝BQ·EQ？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，也请说明理由. ] （1） C（5，-4）； 能连结AE ，∵BE是⊙O的直径， ∴∠BAE=90°. 在△ABE与△PBA中，AB2＝BP· BE , 即, 又∠ABE=∠PBA, ∴△ABE∽△PBA . ∴∠BPA=∠BAE=90°, 即AP⊥BE . ）分析：假设在直线EB上存在点Q，使AQ2＝BQ· EQ. Q点位置有三种情况： ①若三条线段有两条等长，则三条均等长,于是容易知点C即点Q； ②若无两条等长，且点Q在线段EB上，由Rt△EBA中的射影定理知点Q即为AQ⊥EB之垂足； ③若无两条等长，且当点Q在线段EB外，由条件想到切割线定理，知QA切⊙C于点A.设Q(),并过点Q作QR⊥x轴于点R,由相似三角形性质、切割线定理、勾股定理、三角函数或直线解析式等可得多种解法. 解题过程： ① 当点Q1与C重合时，AQ1=Q1B=Q1E, 显然有AQ12＝BQ1· EQ1 , ∴Q1(5, -4)符合题意； ② 当Q2点在线段EB上， ∵△ABE中，∠BAE=90° ∴点Q2为AQ2在BE上的垂足， ∴AQ2== 4.8（或）. ∴Q2点的横坐标是2+ AQ2·∠BAQ2= 2+3.84=5.84, 又由AQ2·∠BAQ2=2.88, ∴点Q2（5.84，-2.88）, ③方法一：若符合题意的点Q3在线段EB外, 则可得点Q3为过点A的⊙C的切线与直线BE在第一象限的交点. 由Rt△Q3BR∽Rt△EBA，△EBA的三边长分别为6、8、10, 故不妨设BR=3t，RQ3=4t，BQ3=5t, 由Rt△ARQ3∽Rt△EAB得， 即得t=， 〖注:此处也可由列得方程； 或由AQ32 = Q3B·Q3E=Q3R2+AR2列得方程)等等〗 ∴Q3点的横坐标为8+3t=， Q3点的纵坐标为， 即Q3（，）. 方法二：如上所设与添辅助线, 直线 BE过B(8, 0), C(5, -4), ∴直线BE的解析式是 . 设Q3（，）,过点Q3作Q3R⊥x轴于点R, ∵易证∠Q3AR =∠AEB得 Rt△AQ3R∽Rt△EAB, ∴ , 即 , ∴t= ,进而点Q3 的纵坐标为，∴Q3（，）. 方法三：若符合题意的点Q3在线段EB外,连结Q3A并延长交轴于F, ∴∠Q3AB =∠Q3EA，, 在R t△OAF中有OF=2×=，点F的坐标为（0，）, ∴可得直线AF的解析式为 , 又直线BE的解析式是 , ∴可得交点Q3（，）. .（2005上海长宁）如图1，抛物线关于y轴对称，顶点C坐标为（0，h ）(h0)， 交x轴于点A（d,0）、B（-d,0）（d0）。 （1）求抛物线解析式（用h、d表示）； （2）如图2，将ABC视为抛物线形拱桥，①～⑤拉杆均垂直x轴，垂足依次在线段AB的6等分点上。h=9米。 (i )求拉杆⑤DE的长度； (ii)若d值增大，其他都不变，如图3。拉杆⑤DE的长度会改变吗？(只需写结论) （3）如图4，点G在线段OA上，OG=kd（比例系数k是常数，0≤k≤1），GF⊥x轴交抛物线于点F。试探索k为何值时， tg∠FOG= tg∠CAO？此时点G与OA线段有什么关系？ [解] （1）用顶点式，据题意设y=ax2+h 代入A（d，0）得a= ∴y=x2+h (2)(i)h=9，代入（1）中解析式得y=x2+9 据题意OE=d，设D（d，yD） 点D在抛物线上，yD=(d)2+9=5，∴DE=5米。 (ii) 拉杆⑤DE的长度不变。 （3）OG=kd，∴点F坐标可设（kd，yF）代入y=x2+h ，得： yF= h(1－k2) tg∠FOG= tg∠CAO ， = 解得 （∵0k1，舍） ，此时点G是线段OA的黄金分割点。 19.（2006上海金山）已知：抛物线经过A（2，0）、B（8，0）、C（0，） （1）求抛物线的解析式； （2）设抛物线的顶点为P，把△APB翻折，使点P落在线段AB上（不与A、B重合），记作，折痕为EF，设A= x，PE = y，求y关于x的函数关系式，并写出定义域； （3）当点在线段AB上运动但不与A、B重合时，能否使△EF的一边与x轴垂直？若能，请求出此时点的坐标；若不能，请你说明理由。 [解] （1）设 把代入得