管理统计学第5章__参数估计课件.ppt

第5章 参数估计 §3. 1 参数估计概述 参数估计是统计推断的基本方法之一。我们把刻划总体X的某些特征的常数称为参数，最常用的参数是总体X的数学期望和方差。假如总体X~N（ ），则X的分布是由参数μ和σ2确定的，其中，μ=E（X），σ2 =D（X）。 在实际问题中，总体X的参数是未知的，例如纱厂细纱机上的断头次数X~P（λ），如果求每只纱绽在某一时间间隔内断头的次数为K的概率，就需要先确定参数λ，才能求出所求的概率。又如，灯泡厂生产的灯泡，由经验知其寿命X~N（ ），但是由于生产过程中各种随机因素的影响，生产出来的灯泡的寿命是不一致的，为了保证灯泡的质量，必须进行抽样检查，根据样本所提供的信息，对总体X的分布做出估计，也即对参数μ,σ2做出估计。这类问题称为参数估计问题。 参数估计问题，就是要从样本出发构造一些统计量作为总体某些参数的估计量，当取得一个样本值时，就以相应的统计量的值作为总体参数的估计值。例如，常以统计量 作为总体数学期望的估计量。当要估计某批灯泡的平均寿命时，就从该批灯泡中随机地抽取若干个，分别测出其寿命，以这些测量数据的平均值作为该批灯泡的平均寿命的估计值。 设总体X的分布函数的类型已知，但是其中有一个或多个参数未知，设X1，X2，X3，……，Xn为总体X的容量为n的样本。参数估计就是讨论如何由样本X1，X2，X3，……，Xn提供的信息对未知参数作出估计，以及讨论如何建立一些准则对所作出的估计进行评价 。 一般是建立适当的统计量 （X1，X2，X3，……，Xn），当样本观察值为x1，x2，x3，……，xn时，如果以 （x1，x2，x3，……，xn）作为总体分布中未知参数的估计值，这样的估计方法叫做点估计，如果总体分布函数中有t个未知参数，则要建立t个估计量作为t个未知参数的估计量。 参数估计的形式分为两类：点估计和区间估计。由估计量的观察值作为未知参数的估计值，这种作法称为点估计或定值估计。而有时并不要求对参数作定值估计，只要求估计出未知参数的一个所在范围，并指出参数被包含在该范围的概率，这种方法称为区间估计，进行参数估计并不一定要预先知道总体的分布类型。有时，虽然未知总体的分布类型，但仍可对总体的某些数字特征作出估计。 §3. 2 参数的点估计 点估计方法很多，本节介绍最常见的矩估计法和极大似然法。 一、矩估计法 由大数定律可知，样本分布函数依概率收敛于总体分布函数，样本均值依概率收敛于总体均值，我们自然会想到，是否能用有关的样本矩来估计总体分布的相应矩呢？统计实践表明，这个方法是可取的，这种用样本矩来估计总体分布参数的方法称为矩估计法，通常，用样本 均值来估计总体的均值，用样本方差S2来估计总体的方差。 【例3.1】试用矩估计法对总体 X~N（ ）的参数μ，σ2作出估计。 解: 因E（X）=μ，D（X）=σ2 设X1，X2，……，Xn为X的一个样本，其 样本均值为，样本方差为S2。 令E（X）= ，D（X）=S2，即得的估计量为 ， 。 【例5.2】设X1，X2，……，Xn是取自总 体X的样本，已知X的概率密度为： 试用矩估计法估计总体参数 。 解: 由于 样本均值为 ，令E（X）= ，得: , 从而总体 参数的矩估计为 ，其 中 。 【例5.3】X1，X2，……，Xn为总体X~B（N，P）的样本，其中N，P为未知参数，试用矩估计法估计参数N及P。 解：∵ E（X）=NP D（X）=NP（1-P） 样本均值与方差分别为 ，S2。 令 E（X）= D（X）=S2 即 解得N、P的矩估计量为 ，其 中 ， 。 二、极大似然估计法 先考察两个简单的例子。 【例3.4】某同学与一位男猎人一起外出打猎，只见一只野鸡在前方窜过，只听一声枪响，野鸡被他们两人中某一位一枪命中，试推测这一发命中的子弹是谁打的，答案是简单的，既然只发一枪且命中，而男猎人的命中的概率一般大于这位同学命中的概率，因此可以认为这一枪是男猎人射中的。 【例3.5】假定在一个箱子里放着黑、白两种球共4只，且知道这两种球的数目之比为1∶3，但不知道究竟哪一种颜色的球多。 设黑球所占的比例为P，由上述假定推知P仅可能取1/4和3/4这两个值，现在采用有放回抽样的方法，从箱子中随机地抽取三个球，观察到球的颜色为黑、白、黑，你会对