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对策论 由“齐王赛马”引入 1.对策论的基本概念 三个基本要素； 1.局中人：参与对抗的各方； 2.策略集：局中人选择对付其它局中人的行动方案称为策略。 某局中人的所有可能策略全体称为策略集； 3.局势对策的益损值：各局中人各自使用一个对策就形成一个局势，一个局势决定了个局众人 的对策结果（量化）称为该局势对策的益损值） “齐王赛马”齐王在各局势中的益损值表（单位：千金） 其中： 齐王的策略集: S1={?1,?2,?3,?4,?5,?6} 田忌的策略集：S1={?1,?2,?3,?4,?5,?6} 下列矩阵称齐王的赢得矩阵： 3 1 1 1 -1 1 1 3 1 1 1 -1 A= 1 -1 3 1 1 1 -1 1 1 3 1 1 1 1 1 -1 3 1 1 1 -1 1 1 3 1.基本概念（续） 二人有限零和对策：（又称矩阵策略） 局中人为2； 每局中人的策略集中策略权目有限； 每一局势的对策均有确定的损益值，并且对同一局势的两个局中人的益损值之和为零。 1.基本概念（续） 记矩阵对策为: G = {S1, S2, A} 甲的策略集 甲的赢得矩阵 乙的策略集 “齐王赛马”即是一个矩阵策略. 2.矩阵对策的最优纯策略 在甲方赢得矩阵中： A=[aij]m*n i行代表甲方策略 i=1,2…m J列代表乙方策略 j=1,2…n aij代表甲方取策略i,乙方取策略j,这一局势下甲方的益损值，此时乙方的益损值为-aij（零和性质）。 在讨论各方采用的策略是必须注意一个前提就是对方是理智的。这就是要从最有把握取得的益损值情况考虑。 2.矩阵对策的最优纯策略(续) 例：有交易双方公司甲和乙，甲有三个策略?1，?2，?3；乙有四个策略?1，?2，?3，?4，根据获利情况建立甲方的益损值 赢得矩阵。 -3 0 -2 0 A= 2 3 0 1 -2 -4 -1 3 问：甲公司应采取什么策略比较适合？ 甲： 采取?1至少得益–3(损失 3） ?2 0 ?3 -4(损失 4） 乙： 采取?1甲最多得益2 （乙最少得益-2） ?2 3（乙得益-3） ?3 0（乙得益 0） ?4 3（乙得益-3） 甲采取策略?2 不管乙采取如何策略，都至少得益。 乙采取策略?3 不管甲采取如何策略， 都至少可以得益。（最多损失0） 分别称甲，乙公司的最优策略，由唯一性又称最优纯策略。 存在前提： max min aij = min max aij = v i j j i 又称（ ?2 ，?3 ）为对策G={s1,s2,A} 的鞍点。值V为G的值。 3.矩阵对策的混合策略 设矩阵对策 G ={S1,S2,A} 当 max min aij ? min max aij i j j i 时，不存在最优纯策略 求解混合策略。 3.矩阵对策的混合策略 例：设一个赢得矩阵如下: min 5 9 5 A = max 6 策略?2 8 6 6 i max 8 9 min 8 策略?1 j 矛盾：甲取?2 ，乙取时?1，甲实际赢得8比预期多2（乙就少2）这对乙讲是不满意的，考虑这一点，乙采取策略?2，若甲分析到这一点，取策略?1，则赢得更多为9… 此时，甲，乙方没有一个双方均可接受的平衡局势。 一个思路：对甲（乙）给出一个选取不同策略的概率分布，以使甲（乙）在各种情况下的平均赢得（损失）最多（最少）。-----即混合策略 求解方法：线性规划法 （其他方法：图解法，迭代法，线性方程法等略） 例： 5 9 设在最坏的情况下， A= 甲赢得的平均值为V. 8 6 （未知） STEP 1 1)设甲使用策略?1的概