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线性代数 第一章 行列式 §1.n阶行列式的定义: D=det(aij)= t为p1p2...pn的逆序数； §2.行列式的性质： 1)DT=D; 2) 3)kD等于k乘D的某1行(列); 4)若D有2行(列)成比例，则D=0; 5)可加性： 6) t1为q1q2...qn的逆序数. §3.行列式按行(列)展开法则： D=ai1Ai1+ai2Ai2+...+ainAin=a1jA1j+a2jA2j+...+anjAnj 推论：ai1Aj1+ai2Aj2+...+ainAjn=0 (i≠j); a1iA1j+a2iA2j+...+aniAnj=0 (i≠j). §4.克莱姆法则：设线性方程组 系数行列式D= 则方程有唯一的一组解： Dj= 第j列 j=1,2,...,n xj=Dj/D, 克莱姆法则推论：设齐次线性方程组 系数行列式D= 则方程组只有唯一的一组零解： xj=0, j=1,2,...,n 即:若方程组有非零解,则必有D=0. 此推论说明D=0是齐次方程有非零解的必要条件 (第3章将证明也是充分条件). 例1 设齐次线性方程组 解：要使方程有非零解,则系 数行列式必为0,即 问λ为何值时方程有非零解? (5- λ)(6- λ)(4- λ)-4(6- λ)-4(4- λ) =(5- λ)(6- λ)(4- λ)+8λ-40 =(5- λ)(λ2-10 λ+24-8) =(5- λ)(λ-2)( λ-8)=0 得 λ=5或λ=2或λ=8, 经验证,此时有非零解. 例2 求3次多项式f(x)=a0+a1x+a2x2+a3x3,使 f(-1)=0,f(1)=4,f(2)=3,f(3)=16 解： D= =2.3.1.4.2.1=48≠0 D2=0,D3=-240,D4=96, ∴a0=336/48=7,a1=0,a2=-5,a3=2. ∴f(x)=7-5x2+2x3