线性代数4-4课件.pptVIP

第四节　线性方程组解的结构 一、齐次线性方程组解的性质 二、基础解系及其求法 三、非齐次线性方程组解的性质 四、小结　思考题 4、小结 思考题 思考题解答 1．齐次线性方程组解的性质 （1）若 为 的解，则 也是 的解. 证明 　　（2）若 为 的解， 为实数，则 　　　 也是 的解． 证明 　　由以上两个性质可知，方程组的全体解向量 所组成的集合，对于加法和数乘运算是封闭的， 因此构成一个向量空间，称此向量空间为齐次线 性方程组 的解空间．记为N(A) 证毕. 2．基础解系的定义 例1 求齐次线性方程组 的基础解系与通解. 解 　　对系数矩阵 作初等行变换，变为行最简矩 阵，有 定理1 说明 例2 解线性方程组 解 对系数矩阵施 行初等行变换 即方程组有无穷多解， 其基础解系中有三个线性无关的解向量. 所以原方程组的一个基础解系为 故原方程组的通解为 证明 3．非齐次线性方程组解的性质 证明 证毕． 　　其中 为对应齐次线性方程 组的通解， 为非齐次线性方程组的任意一个特 解. (3)．非齐次线性方程组的通解 非齐次线性方程组Ax=b的通解为 例4 求解方程组 解 解 例5 求下述方程组的解 则原方程组等价于方程组 所以方程组的通解为 １．齐次线性方程组基础解系的求法 　　（1）对系数矩阵 进行初等变换，将其化为 最简形 由于 令 　　（2）得出 ，同时也可知方程组的一 个基础解系含有 个线性无关的解向量． 故