线性代数4-5五节课件.ppt

第五节 应用(一) 污染与工业发展的工业增长模型 莱斯利(Leslie) 种群模型 矩阵的特征值，特征向量的理论在微分方程和 差分方程理论中有重要应用，而自然科学，社会科 学和经济管理中的许多问题都可以用微分方程或差 分方程的数学模型来描述. 对于这些模型的分析、 计算，不仅可以定性地分析模型中各个因素的关系， 而且可以定量地确定各因素间的数量特征. 分析的 结果有助于决策者作出正确的判断，为科学、合理 的决策提供依据. 一、污染与工业发展的 工业增长模型 在本章第一节中，我们已介绍了污染水平与工 业发展的增长模型. 下面我们较详尽地讨论这一模 型. 设某地区在某年的污染水平和工业发展水平分 别为 x0 和 y0 . 把这一年作为起点(亦称基年)，记作 t = 0 . 如果以若干年 (如 5 年) 作为一个期间，第 t 个 期间的污染和工业发展水平记作 xt 和 yt ，则 § 4.1 的例 1 中的模型可以写为 记 则 (4.15) 的矩阵形式为 ?t = A?t-1 ( t = 1, 2, … , k ) (4.16) 如果已知该地区基年的水平 ?0 = ( x0 , y0 )T , 利 用 ?t = A?t-1 就可以预测第 k 期 ( 如 k = 10 ) 时该地区 的污染程度和工业发展水平. 实际上，由 (4.16)，可 得 ?1 = A?0 , ?2 = A2?0 , … , ?k = Ak?0 (4.17) 如果直接计算 A 的各次幂，计算将十分烦琐. 如果利用矩阵特征值和特征向量的有关性质，不但 使计算大大简化，而且模型的结构和性质也更为清 晰. 先计算 A 的特征值. A 的特征多项式为 所以，A 的特征值为 ?1 = 1 , ?2 = 4 . 对于特征值 ?1 = 1 ，解齐次线性方程组 ( E – A )X = 0 得 A 的属于 ?1 = 1 的一个特征向量 ?1 = (1 , -2)T . 对于特征值 ?1 = 4 ，解齐次线性方程组 ( 4E – A )X = 0 得 A 的属于 ?1 = 1 的一个特征向量 ?2 = (1 , 1)T . 且 ?1 , ?2 线性无关. 如果基年(t = 0)时的水平 ?0 恰等于 ?2 = (1 , 1)T, 则 t = k 时， ?k = Ak?0 = Ak?2 , 由于 Ak 必有特征值 4k , 对应的特征向量仍是 ?2 = ?0 . 于是 特别地，当 k = 10 时，可得 ?10 = (410 , 410)T . 这表明：尽管工业发展水平可以达到相当高的程度, 但照此发展下去，环境的污染也将直接威胁人类的 生存. 如果基年 (t = 0) 时的水平 ?0 = (1 , 7)T , 则不能 直接应用上述方法分析. 然而，因为 ?1 , ?2 线性无 关， ?0 = (1 , 7)T 必可由向量组 ?1 , ?2 唯一地线性表 示. 不难计算，这时 ?0 = -2?1 + 3?2 于是 ?k = Ak?0 = Ak( -2?1 + 3?2 ) = (-2) ? ?1k ?1 + 3 ? ?2k ?2 特别地，当 k = 10 时，可得 ?10 = (-2 + 3 ? 410 , 4 + 3 ? 410 )T . 由上面的分析可以看出：尽管 A 的特征向量 ?1 = (1 , -2)T 没有实际意义(因为 ?1 中含有负分量) , 但任一具有实际意义的向量 ?0 都可以表示为?1 , ?2 的线性组合，从而在分析过程中， ?1 仍然具有重要 作用. 二、莱斯利（Leslie）种群模型 莱斯利模型是研究动物种群数量增长的重要模 型. 这一模型研究了种群中雌性动物的年龄分布和 数量增长的规律. 在某动物种群中，仅考虑雌性动物的年龄和数 量. 设雌性动物的最大生存年龄为 L (单位：年或 其他时间单位) . 把 [ 0 , L ] 等分为几个年龄组，每 一年龄组的长度为 L / n : 设第 i 个年龄组的生育率为 ai ，存活率为 bi ( i = 1, 2, … , n ) . 应注意 ai 表示第 i 个年龄组的每 一雌性动物平均生育幼体个数； bi 表示第 i 个年龄组 中可存活到第 i + 1 年龄组的雌性数与该年龄组总数 之比. 在不发生意外事件(灾害等) 的条件下，ai , bi 均为常数，且 ai ? 0 ( i = 1, 2, … , n ) , 0 bi ? 1 ( i = 1, 2, … , n – 1 ) . 同时，假设至少有一个 ai 0 (1 ? i ? n) ，即至少有一个年龄组的雌性动物具有生 育能力. 利用统计资料可获得基年 ( t = 0