线性代数§1课件.ppt

课程：线性代数 主讲：潘林芝 5:1180/eol/ 学习要求： 充分利用课堂时间 及时进行课后复习 按时完成课后作业 平时成绩（20%，以作业质量及考勤为准） 期末考试成绩（80%） 第一章 行列式 性质3: 行列式的某一行(列)中所有的元素都乘以同一数k, 等于用数k乘此行列式. 即 推论1: 行列式的某一行(列)中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面. 例如： 证明: 推论2： 行列式中如果有两行(列)元素成比例, 则此行列式为零． 例如： 则D等于下列两个行列式之和: 证明: 故结论成立. 性质4: 若行列式的某一列(行)的元素都是两数之和, 例如 推论： 如果将行列式某一行（列）的每个元素都写成m个数（m为大于2的整数）的和，则此行列式的值不变． 例如 性质5: 把行列式的某一列(行)的各元素乘以同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去, 行列式不变. 利用性质5把行列式的第 j 行(列)的各元素乘以同一数 k 然后加到第 i 行(列)对应的元素上去, 记作 ri + rj ? k ( ci + cj ? k ); 利用性质3行列式的第 i 行(列)乘以数k, 记作 ri ? k ( ci ? k ); 引入记号: 用 ri 表示第 i 行, ci 表示第 i 列. 在计算行列式时, 我们经常利用性质2,3,6对行列式进行变换. 利用性质2交换行列式的第 i, j 两行(列), 记作 ri ? rj ( ci ? cj ); 三、行列式计算 计算行列式常用方法: 利用性质2,3,5, 特别是性质5把行列式化为上(下)三角形行列式, 从而, 较容易的计算行列式的值． 例1: 计算行列式 解: r3 +r2+ r1 r2-r1(3/2) 例2: 计算行列式 解: r1 +r2 +r3 +r4 r2 –r1 r3 –r1 r4 –r1 例3: 计算行列式 解: C1 C2 r2 –r1 r4 +5r1 r2 r3 r3 +4r2 r4 -8r2 例4: 计算4阶行列式 解: D r4 -r3 r3 –r2 r2 –r1 从倒数第二行开始，把前一行的（-1）倍加到后一行上去 解: 将第2, 3, ··· , n 列都加到第一列得: 例5: 计算 n 阶行列式 第2, 3, ··· , n 行都减去第一行得: 行列式的5个性质. 行列式中行与列具有同等的地位, 行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立. 计算行列式常用方法: (1) 利用定义; (2) 利用性质把行列式化为上(下)三角形行列式, 从而算得行列式的值. 三、小结 思考题 其中已知 abcd=1. 计算行列式, 思考题解答 §1.4 行列式按行(列)展开 一、余子式与代数余子式 在 n 阶行列式D中, 把元素 aij 所在的第 i 行和第 j 列元素划去后, 留下来的 n–1 阶行列式叫做(行列式D的关于)元素aij 的余子式, 记作 Mij . 即: aij 的余子式, 记作 Mij aij 的代数余子式Aij = (–1)i+j Mij 例如 引理: 设D为n阶行列式，如果D的第 i 行元素除 aij 外都为零, 那么, 行列式 D 等于 aij 与它的代数余子式 Aij的乘积, 即 D = aij Aij . = aij Aij . 二、行列式按行(列)展开定理 证: 当 aij 位于第一行第一列时, 又由于 A11=(–1)1+1M11=M11, 再证一般情形, 此时 由第二节例3, 得: D = a11M11 . 从而 D = a11A11, 即结论成立. 把D的第 i 行依次与第 i –1行,第 i –2行, ···, 第1行交换, 得 把D的第 j 列依次与第 j –1列, 第 j –2列, ···, 第1列交换, 得 =(–1)i+j aij M?11, 显然, M?11恰好是aij在D中的余子式Mij,, 即M?11=Mij, 因此, D = (–1)i+j aij Mij = aij Aij, 故引理结论成立. 定理1.4: 行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积之和, 即 D = ai1Ai1 + ai2Ai2 + ··· + ainAin ( i =1, 2, ···, n); 或：D = a1jA1j + a2jA2j