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线性代数—线性方程组解的结构课件.ppt
第五节 练习: * 在有解的情况下, 回顾: 其中 为增广矩阵。 当线性方程组有无穷多解的情况下,希望用有限个解表示出来。 一、齐次线性方程组解的结构 由解的判别定理知,(*)只有零解当且仅当 (*) 有零解(即无穷多解)当且仅当 齐次线性方程组解的性质: 证明 (1)若 为 的解,则 也是 的解. (2)若 为 的解, 为实数,则 也是 的解. 证明 均是 的解, 则它们的 综上所述, 若 线性组合 也是 的解. 定义 齐次线性方程组 的一组解向量 如果满足: (1) 线性无关; (2) 的任一解向量均可被 线性表示, 则称 为 的一个基础解系。 若 只有零解,则基础解系不存在。 基础解系即为全体解向量组的极大无关组。 定理 证略 下面举例说明基础解系的求法。 求下面齐次线性方程组的一个基础解系,并用基础解系表示出全部解。 例1 解 自由未知量取为 基础解系: 例2 解 求下面齐次线性方程组的一个基础解系: 自由未知量取为 自由未知量取为 基础解系: 二、非齐次线性方程组解的结构 称 为 的导出组。 非齐次线性方程组解的性质: 证明 (1)若 为 的解,则 是 的解. 证明 (2)若 为 的解, 为 的解, 则 是 的解. 定理 如果 是 的一个特解,那么 的任一解 可表为 其中 是导出组 的解. 因此,当 取遍导出组的全部解时, 就给出 的全部解。 证明 由上述性质可知, 为导出组 的解, 记为 则 当 取遍导出组的全部解时, 就给出 的 全部解。 设非齐次线性方程组 当 取遍导出组的全部解时, 就给出 的 全部解。 全部解的求法: 满足 则有无穷多解, 导出组 (1) 求出导出组 的基础解系 (2) 求出原方程组 的一个特解 则 的全部解为 其中 为任意常数. 例3 解 求方程组 的全部解. 所以有无穷多解。 导出组的基础解系: 特解: 所以全部解为 任意。 例4 方程组的增广矩阵为 导出组的基础解系: 特解: 所以全部解为 任意。 * * *
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