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线性代数一 第一章 行列式 一、 二阶和三阶行列式 行列式是由解线性方程组的公式引出的。 例 行列式的计算 方法一：利用性质化成上（下）三角行列式。 方法二：利用性质化简、降阶。 例如 注： 以及其所在行、列的所有元素均无关。 元素 的余子式及代数余子式与元素 本身 例：已知　 ，求元素２和 的余子式。 ＝－３０ 的余子式为： ＝１０－１２＝－２ 解：２的余子式为： 例：已知行列式： 求元素２和 的代数余子式 解：２的代数余子式 ＝ ＝ 的代数余子式 ＝ ＝－(－２)＝２ 注: 利用这一法则可将行列式降阶。 行列式按行（列）展开法则 素与其对应的代数余子式乘积之和，即 定理 阶行列式等于它的任一行（列）的各元 (1) (2) 行列式的性质 记 行列式 称为行列式 的转置行列式. 性质1 行列式与它的转置行列式相等.即 行列式中行与列具有同等的地位,因此行列 式的性质凡是对行成立的对列也同样成立. 互换行列式的两行（列）,行列式变号. 互换行列式 的第 行和第 行,所得行列 式记为 则 性质2 注: 性质3： 行列式中某一行（列）中的公因子可以提 到行列式号外面。即 列式的某一行(列)中的所有元素。 此性质也相当于：用 乘以行列式等于用 乘行 行列式有两行(列)对应元素相等时，该 行列式等于零。 推论1： 推论2： 行列式中如果有两行（列）元素成比例， 则此行列式为0。 性质4： 行列式具有分行(列)相加性，即 则有: 性质5: 到另一行(列)对应元素上，行列式不变。即 行列式某一行(列)各元素乘以同一个数加 证明: 根据行列式的性质5及性质3知 证毕. 素与其对应的代数余子式乘积之和，即 阶行列式等于它的任一行（列）的各元 性质6: (1) (2) 阶行列式的第 行(列)各元素与第 行(列) 的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即 性质7： 及 * * 先看二元线性方程组 利用加减消元法可以得 (1)的解为 由方程组的四个系数确定. 为了容易记住上面的公式解，引入下面运算记号 定义 (3) 称（3）式的左边为二阶行列式，右边的式子为 二阶行列式的展开式 。其中称 为行列式的 元素， 分别表示该元素位于第 行第 列. 二阶行列式的计算 对角线法则 主对角线 副对角线 例如 行列式的计算结果是一个数。 注意： 则二元线性方程组（1）的解可写成 (4) 类似地，对于三元线性方程组 (5) 为了容易记住(5)的求解公式，引入三阶行列式 定义 (6) 的概念。 称(6)式的左边为三阶行列式，右边式子为三阶 行列式的展开式。 三阶行列式的计算可用下面的对角线法则 注意: 2. 红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三 元素的乘积冠以负号。 1. 三阶行列式包括3!项,每一项都是位于不 同行,不同列的三个元素的乘积。 例1 计算三阶行列式 解: 按对角线法则，有 若记 则三元线性方程组(5)的解为: 关于二元、三元线性方程组解公式的形式还可推广 到n元线性方程组，这就需要类似地引入n阶行列式。 定义：由 个数组成的记号 = 称n阶行列式 （i,j=１，２，３， …，n） 称为元素 为了给出n阶行列式的定义，需要用到逆序数与 对换的概念。 二. 逆序数与对换 定义 将n个数 1，2，· · · ，n 按某种次序排成一排， 称其为这n个数的一个全排列，简称为排列。这n个 数按自然次序由小到大的排列称为标准排列。 显然，n个数共有n!个全排列。 例如 35241 是一个5级全排列。 3级全排列的全体共有6个，分别为: 123，231，312，132，213，321 其中123是标准排列。 定义2 在n个数1,2,· · · ,n的一个全排列 中，若两个数的前后次序和标准排列不一致，则称这 两个数构成一个逆序。一个排列中逆序的总的个数称 为这个排列的逆序数，记为t。 例如 排列 32514 中 3 2 5 1 4 逆序 逆序 逆序 求排列3 2 5 1 4的逆序数 分析: 3 2 5 1 4 逆序数为3 逆序数为1 逆序数为0 0 1 例2： 即将其中的每一个数与前面的每个数比较大小，前面 的数大于这个数就构了一个逆序。 3在首位，逆序数为0； 解: 2的前面是3，故逆序数为1； 5的前面数都小于5，故逆序为0； 1的前面3，2，5都大于1，故逆序为3； 4的前面只有5大于4，故逆序为1。 于是这个排列的逆序数为t=0+1+0+3+1=5 如果一个排列的逆序数是奇（偶）数，那