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第1章 行列式 行列式是线性代数的一个重要组成部分.它是研究矩阵、线性方程组、特征多项式的重要工具.本章介绍了n阶行列式的定义、性质及计算方法，最后给出了它的一个简单应用——克莱姆法则. 第1章 行列式 n阶行列式的定义 行列式的性质 行列式按行（列）展开 克莱姆法则—行列式的一个简单应用 数学实验 第1.1节 n阶行列式的定义 本节从二、三阶行列式出发，给 出n阶行列式的概念. 基本内容： 二阶与三阶行列式 排列及其逆序数 n阶行列式定义 转置行列式 1.二阶与三阶行列式 (1)二阶行列式 例1 解二元线性方程组 解: 方程组未知量的系数所构成的二阶行列式 (2)三阶行列式 例2 计算三阶行列式 解:由主对角线法，有 例3 解线性方程组 解：系数行列式 思考与练习（三阶行列式） 2.排列及其逆序数 (2)排列的逆序数 定义： 在一个n 级排列i1i2…in中，若某两数的前 后位置与大小顺序相反,即isit(ts),则称这两数构 成一个逆序.排列中逆序的总数,称为它的逆序数，记为?(i1i2…in). 对换： ①的证明 对换在相邻两数间发生，即 设排列 …jk… (1) 经j,k对换变成 …kj… (2) 此时，排列(1)、(2)中j,k与其他数是否构成逆序的情形未 发生变化；而j与k两数构成逆序的情形有变化： 若(1)中jk构成逆序,则(2)中不构成逆序(逆序数减少1) 若(1)中jk不构成逆序,则(2)中构成逆序(逆序数增加1) 一般情形 设排列 …ji1…isk… (3) 经j,k对换变成 …k i1…is j… (4) 易知，(4)可由(3)经一系列相邻对换得到： k经s+1次相邻对换成为 …kj i1…is … j经s次相邻对换成为 …ki1…is j … 即经2s+1次相邻对换后(3) 成为 (4). 相邻对换改变排列的奇偶 性，奇数次这样的对换后排列的奇偶性改变. || 思考练习（排列的逆序数） 1.?(542163) ?(24…(2n-2)(2n)(2n-1)(2n-3)…31） 2. 若排列的x1x2…xn逆序数为I，求排列xn xn-1…x1的逆序数. 方法2 n个数中比i大的数有n- i个(i=1,2,…,n),若在排列 x1x2…xn中对i构成的逆序为li个,则在xnxn-1…x1中对i构 成的逆序为(n- i)-li,于是两排列中对i构成的逆序之和 为 3. n阶行列式定义 分析： 推广之，有如下n 阶行列式定义 定义： n阶行列式 例4 证明上三角行列式 证： 由定义 例5 计算 由于数的乘法满足交换律，故而行列式各项中n 个元素的顺序可以任意交换.一般，可以证明 定理:n阶行列式D=Det (aij) 的项可以写为 4.转置行列式 第1.2节 n阶行列式的性质 对多“0”的或是阶数较低(二、三阶)的行列式利用定义计算较为容易, 但对一般的、高阶的（n?4）行列式而言,直接利用定义计算很困难或几乎是不可能的 . 因而需要讨论行列式的性质，用以简化计算. 性质1 行列式与它的转置行列式相等.（D=DT） 证：事实上,若记 DT=Det(bij),则 性质2 互换行列式的两行(ri?rj)或列(ci?cj)，行列式的值变号 . 推论 若行列式D的两行（列）完全相同,则D=0 . 性质3 行列式某一行（列）的所有元素的公因子可 以提到行列式符号的外面，即 性质4 若行列式 某一行(列)的所有元素都是两个数的和,则此行列式等于两个行列式的和. 这两个行列式的这一行(列)的元素分别为对应的两个加数之一，其余各行(列)的元素与原行列式相同 .即 证 性质5 行列式D的某一行(列)的所有元素都乘以数 k加到另一行(列)的相应元素上,行列式的值不变,即 例2 计算行列式 解 解 例3 计算n阶行列式 解(1) 注意到行列式各行(列)元素之和等于x+(n-1)a,有 解(2) 注意到行列式各行元素之和等于 例4 证明 证 第1.3 节 行列式按行（列）展开 1.行列式按一行（列）展开 例1 求出行列式 解 行列式按一行（列）展开定理 n阶行列式 证 (i)D的第一行只有元素a11?0，其余元素均为零,即 推论 n阶行列式 证 例2 计算行列式 例3 计算行列式 例4 计算n阶行列式 例5 证明范得蒙行列式（Vandermonde)