线性代数同济六版珍藏版课件.ppt

行列式 矩阵及其运算 矩阵的初等变换与线性方程组 向量组的线性相关性 矩阵的特征值和特征向量 所以 定理 5 如果齐次线性方程组 的系数行列式 D≠0 ，那么它只有零解. 下述齐次方程组有非零解？ 解 根据定理 5 ，若此齐次线性方程组有非零解，则其系 所述方程组确有非零解. 行列式必为 0 .而 第五章 相似矩阵及二次型 §1 预备知识 向量的内积 定义 1 设有 n 维向量 令 [ x , y ] = x1 y1 + x2 y2 + …… + xn yn , 称[ x , y ] 为向量 x 与 y 的内积. 内积具有下列性质： 1. [ x , y ] = [ y , x ] ; 3. [ x + y , z ] = [ x , z ] + [ y , z ] ; 4. [ x , x ] ≥0, 其中 x，y，z 是为向量， 易知, [ x , y ] = xTy . 当且仅当时x = 0 时 [ x , x ] = 0. 定义 2 非负实数 称为 n 维向量 x 的长. 向量的长具有性质： 长为 1 的向量称为单位向量. 若向量 x ≠0 , 如果 [ x , y ] = 0 ，那么称向量 x 与 y 正交. 一组两两正交的非零向量. 正交向量组: 那么它应满足 ～ 由 得 规范正交向量组: 定理 1 正交向量组必线性无关. 证 设向量组 a1 , a2 , …… , ar 是正交向量组, 类似的可证 于是向量组 a1 , a2 , …… , ar 线性无关. 但不为正交向量组. 向量组 e1 , e2 , …… , er 为规范正交向量组，当且仅当 若有一组数 由单位向量构成的正交向量组. 设向量组 a1 , a2 ,……, ar 线性无关，则必有规范正交向量组 正交化： 单位化： 于是，e1 , e2 , ……, er 是规范正交向量组， 且与 a1 , a2 , ……, ar 等价. e1 , e2 , ……, er 与 a1 , a2 , ……, ar 等价. e1 , e2 即为所求. 取它的一个基础解系 再把b2 , b3正交化即为所求a2 , a3 . 也就是取 定义 3 设 n 维向量 e1 , e2 , ……, er 是向量空间 V 的一个基, 如果向量组 e1 , e2 , ……, er 为规范正交向量组， 则称 e1 , e2 , …... , 向量组 a1 , a2 , a3 是所求正交向量组. er 是 V 的一个规范正交基. 所以对齐次方程组 定义 4 如果 n 阶矩阵 A 满足 那么称 A 为正交矩阵. n 阶矩阵 A 为正交矩阵的充分必要条件是 A 的列（行）向 设n 阶矩阵 A = ( a1 , a2 , ……, an ) , 其中 a1 , a2 , ……, an 是 或者说, n 阶矩阵 A 为正交矩阵的充分必要条件是 A 的列 A为正交矩阵，即是 ATA = E , 都是正交矩阵. 例 6 （行）向量组构成向量空间 Rn 的一个 规范正交基. A的列向量组. 量组是规范正交向量组. 由此可见， A 为正交矩阵的充分必要条件是 A 的列（行）向量 组是规范正交向量组. 定义 5 若 P 为正交矩阵，则线性变换 x = Py 称为正交变换. 线性变换的系数构成矩阵 于是线性变换（＊） 就可以记为 x = Py 都为正交变换. 例 7 若 线性变换 x = Py 为正交变换， a , b 为任意两个向量.那么 这是因为 特别的， §2 方阵的特征值与特征向量 定义6 设 A 是 n 阶矩阵， 和 n 维非零列向量 p 非零向量 p 称为 A 的对于特征值 称为方阵 A 的特征多项式. 称为n 阶矩阵 A 的特征方程. (1)式也可写成 使得 行列式 求 n 阶方阵 A 的特征值与特征向量的方法： 1 求出矩阵的 A 特征多项式, 特征值. 它的非零解都是 例1 求矩阵