线性代数第2讲课件.ppt

* 记矩阵 则 于是 * 即2年后, 农村人口与城市人口各为200万.类似地, 不难得出 * 方阵乘积的另一个重要应用是有向图. 有向图是由一些顶点及顶点之间的弧构成的图. 若顶点i到顶点j之间有弧, 就记此弧为(i,j), 在图上用从i到j的带箭头的弧表示. 有向图广泛地用在工程,网络,物流及经济活动中. * 图1.1是有4个顶点, 8条弧的有向图. 它可表示某航空公司在4个城市之间的运行图, 这里顶点看作城市, 城市i到j有航班, 则i到j有一条弧, 否则就没有弧; 它也可用来表示某物资在4个单位之间的转移路线. a b c d 图1.1 * 图1.2是有5个顶点, 10条弧的有向图, 它可表示5个网球手单循环赛的结果, 这里顶点看作选手, 若选手i打败选手j, 则有弧(i,j), (假设比赛无平局) a b e c d 图1.2 * 由一个有n个顶点的有向图, 可以得到一个n阶方阵A=(aij)n?n, 其中 它反映图中顶点之间的相邻关系, 因而称为(顶点)邻接矩阵. * 例如图1.1的邻接矩阵 a c d 图1.1 b * 图1.2的邻接矩阵 a b e c d 图1.2 * 例1.10 设某小航空公司在4城市间的航行运行图如图1.1, 某记者从城市d出发, (1)有几条经3次航行到达城市c的线路: (2)有几条经4次航行回到城市d的线路? a b c d 图1.1 * * a b c d 所以 表明从出发经两次航行到达a的线路有两条: d?b?a和d?c?a. * * * 例1.11 (例1.10之续) 若b,c两城市的棒球队将进行决赛, 按规定他们必须在第三地举行比赛, 问这样的城市是否存在(假设不转机), 有几个可供选择的城市? a b c d 图1.1 * 解 继续考虑图1.1的邻接矩阵A. * 记 B=(bij)=AAT, (1.10)则 * 故两棒球队可选择a城作为比赛地, 且可供选择的城市仅此一个.一般地, 由(1.10)式, 则bij的值=从顶点i到j发出的弧终止于同一顶点的顶点数. * 例1.12 设5位网球手的竞赛结果如图1.2所示. 假设胜一场得分, 则各选手的得分依次是邻接矩阵M的各行元素之和: 得分 (1.11) * 为反映各选手的能力, 规定排序的规则为: 若i打败j, 则i从j身上得一分(称为一级得分);若i打败某k且k打败j, 则i也从j身上得1分(二级得分), 按此规则, 如何排序呢? * 选手i的得分是一级得分和二级得分之和. 前者已由(1.11)式给出. 至于二级得分, 由例1.10, 就是M2的对应行元素之和. 于是, 选手i的得分就是矩阵M+M2中对应行元素之和. * * 得分 于是各选手名次为b,e,a和d(并列第三),c. 这样的排序更真实地反映了各选手的实力. * 三, 矩阵的转置定义1.4 设m?n矩阵A=(aij), 则它的转置矩阵, 记为B=AT=(bij), 规定(i)B为n?m矩阵; (ii) bij=aji, i=1,2,…,n; j=1,2,…,m. * 例如 则 可见, 转置就是把矩阵A的行和列按原来次序互换. * 转置也是一种运算, 它满足以下运算规律:(i) (AT)T=A;(ii) (A+B)T=AT+BT;(iii) (lA)T=lAT, (l为数);(iv) (AB)T=BTAT. * 例1.13 已知 解 直接计算BT和AT的乘积; * 对于矩阵A, 如果满足 AT=A,则称A为对称矩阵, 简称对称阵. * 由定义可知, 对称阵A=(aij)一定是方阵, 且aij=aji, 即它的元素以对角线为对称轴对应相等. 例如矩阵 * 例1.15 设A是对称阵, 证明BTAB也是对称阵.证 因为AT=A, 由转置的性质得 (BTAB)T=BTATB=BTAB,所以BTAB是对称阵. * 作业习题一, 第4. 6. 14. 题 * * 线性代数第2讲 * 矩阵的乘法在线性代数中有许多重要的应用. 这里先介绍作为线性代数课程主要内容之一的线性方程组以及线性变换的概念和它们的矩阵形式. * 二元线性方程组 其中a,b,c,d,p,q为常数, x,y为未知数. * 由m个方程, n个未知数组成的线性方程组, 一般形式是 * 其中x1,x2,…,xn为未知数, aij是第i个方程中未知数xj的系数, (i=1,2,…,m; j=1,2,…,n); bi (i=1,2,…,m)称为常数项. 如果这m个常数b1,b2,…,bm不全为零, 称方程组(1.6)为非齐次线性方程组; * 如果b1,b2,…,bm全为零, 即 称方程组(1.6)