线性代数第三章向量与向量空间课件.ppt

定理 如果向量组 线性相关，则α可由Ａ唯一线性表示. 线性无关，而向量组 证 设 ∵Ａ线性无关， ∴ k≠０，（否则与Ａ线性无关矛盾） ∴α可由Ａ线性表示. 下证唯一性： 两式相减有 ∵Ａ线性无关， 即表达式唯一. 即有 设 定理 设向量组 若Ａ线性相关,则向量组Ｂ也线性相关；反之，若 向量组Ｂ线性无关，则向量组Ａ也线性无关. 定理 设向量组 若Ａ线性无关，则向量组Ｂ也线性无关；反之，若 向量组Ｂ线性相关，则向量组Ａ也线性相关. 其中 　　注意：以上两个定理完全不同，千万不要混淆，第一个定理中是向量的个数变，在方程组中体现在未知数的个数变；第二个定理中是向量的维数变，在方程组中体现在方程的个数变. 1、设向量组 线性相关，则　　 　　. 2、设向量组 线性无关，则 必满足 　 . 三、应用举例 则（ ） A、　必可由　　　　线性表示； B、　必可由　　　　线性表示； C、　必可由　　　　线性表示； D、　必不可由　　　　线性表示. 3、若向量组 线性无关， 线性相关， 1、基本概念 线性表示LE 课前复习 线性组合LC 组合系数CC 线性相关LD 线性无关LID 向量组LD?其中至少有一个向量可由其余向量LE ． 定理 向量组LID?其中任何向量都不能由其余向量LE ． 定理 定理　向量组线性无关?齐次线性方程组只有零解； 定理　向量组线性相关?齐次线性方程组有非零解. 2、基本结论 推论　ｎ个ｎ维向量线性相关?　　　. 推论　ｎ个ｎ维向量线性无关?　　　. 定理 如果向量组 线性相关，则β可由Ａ唯一线性表示. 线性无关，而向量组 定理 设向量组 若Ａ线性相关,则向量组Ｂ也线性相关；反之，若 向量组Ｂ线性无关，则向量组Ａ也线性无关. 定理 设向量组 若Ａ线性无关，则向量组Ｂ也线性无关；反之，若 向量组Ｂ线性相关，则向量组Ａ也线性相关. 其中 一、向量组的秩 １、极大线性无关组 ②　　　　　　　　　　　　　　线性相关. 若满足： 设A:　　　　　 是一个向量组，它的某一个部分组 ２、向量组的秩 向量组的极大无关组所含向量个数称为向量组的秩． 记作：Ｒ(Ａ)或 ①　　　　　　　 线性无关； 则称　　　　　　　　为Ａ的一个极大线性无关组. ④　一个向量组的任两个极大无关组所含向量个数相同. ①　一个向量组的极大无关组不是唯一的. ⑤　一个线性无关的向量组的极大无关组就是其自身. ③　一个向量组的任意两个极大无关组都等价. ⑦　零向量组构成的向量组不存在极大无关组. ⑧　任何非零向量组必存在极大无关组. ⑨　任何ｎ维向量组　　　　　如果线性无关，那么它 就是　中的极大无关组. ⑩　显然ｎ维向量组　　　　　就是　中的极大无关组. ②　向量组与它的任一极大无关组等价. ⑥　一个线性相关的向量组的极大无关组是其真子集. 二、线性相关性的判断准则 定理　向量组Ａ线性相关?Ｒ(Ａ)＜ｒ． 向量组Ａ中向量的个数m＞向量的维数ｎ，则 向量组Ａ线性相关. 推论 定理　向量组Ａ可由Ｂ线性表示，则 ②　若ｒ＞ｓ，则Ａ线性相关. ③　Ａ线性无关，则ｒ≤ｓ. ④　Ｒ(Ａ) ≤Ｒ(Ｂ) . ⑤　等价向量组必有同秩．（反之则不然） ①　存在矩阵 定理　向量组Ａ线性无关?Ｒ(Ａ)=ｒ． 证②：设 即 记 又Ａ可由Ｂ线性表示，则 仅考虑 由于ｒ＞ｓ， 所以Ｋ构成的列向量线性相关. 故　　　有非零解. 亦即 所以Ａ线性相关. 证③： 的极大无关组. 因为Ａ可由Ｂ线性表示，则　　　　线性表示， 定理　向量组Ａ与Ｂ均线性无关,且Ａ与Ｂ等价,则 再设　　　分别为Ａ,Ｂ 设 推论 设矩阵Ｃ和Ａ用其列向量表示为 证明： 而　线性无关，则 易知矩阵Ｃ的列向量组能由Ａ的列向量组线性表示， 设向量组Ｂ是向量组Ａ的部分组，若向量组Ｂ线性 推论 无关，且向量组Ａ能由向量组Ｂ线性表示，则向量组Ｂ 是向量组Ａ的一个极大无关组. 设向量组Ｂ含ｒ个向量，则它的秩为ｒ， 证明： 因向量组Ａ能由向量组Ｂ线性表示，故Ａ组的秩≤ｒ， 从而Ａ组中任意ｒ+１个向量线性相关，所以向量组Ｂ 满足定义中极大无关组的条件. 所以向量组Ｂ是向量组Ａ的一个极大无关组. 三、向量组的秩与矩阵的秩的关系 定义 矩阵 Ａ的列向量组的秩称为列秩，记为： Ａ的行向量组的秩称为行秩，记为： 定理 结论 ①　　　　，则　所在行（列）向量组线性无关. ②　　　　，则Ａ的任 r 行（列）向量组线性相关. ③　　　　，且含有　的　　　　　，则　　　　. 定理 有相同的线性关系. 相同的线性关系是指： 已知ｎ维列向量组 若对Ａ施行初等行变换把Ａ化为 则 向量组 ① 线性表示，且表达式的系数对应相同. ② 线性表示，对应的 ③ 极大无关组相对应. 证明 设Ａ的某些列 有关系 则相应的 具有相同的线性关系. 即　Ｂ中列向量组 与