线性代数讲义第三章课件.ppt

一、 维向量的概念 二、 维向量的表示方法 一、向量、向量组与矩阵 三、线性相关性的判定 一、最大线性无关向量组 一、向量空间的概念 二、子空间 三、向量空间的基与维数 五、基变换与坐标变换(不做要求) 二、坐标变换公式 一、内积的定义及性质 二、向量的长度及性质 三、正交向量组的概念及求法 四、正交矩阵与正交变换 五、小结 第五节 欧氏空间(不做要求) 一、内积的定义及性质 二、向量的长度及性质 三、正交向量组的概念及求法 四、正交矩阵与正交变换 定义1 内积 说明 　　　1 维向量的内积是3维向量数量积 的推广，但是没有3维向量直观的几何意义． 内积的运算性质 定义2 令 长度 范数 向量的长度具有下述性质： 解 单位向量 夹角 １ 正交的概念 ２ 正交向量组的概念 正交 　　若一非零向量组中的向量两两正交，则称该向 量组为正交向量组． 定义１ 注： 定理2 二、矩阵与向量组秩的关系 定理１ 推论： 事实上 练习： 第四节 向量空间 一、向量空间的概念 二、子空间 三、向量空间的基与维数 四、空间向量的坐标 五、基变换与坐标变换(不做要求) 说明 2． 维向量的集合是一个向量空间,记作 . 定义1　设 为 维向量的集合，如果集合 非空， 且集合 对于加法及乘数两种运算封闭，那么就称 集合 为向量空间． 1．集合 对于加法及乘数两种运算封闭指 例2 判别下列集合是否为向量空间. 解 例3 判别下列集合是否为向量空间. 解 定义2 设有向量空间 及 ，若向量空间　　　， 就说 是 的子空间． 实例 设 是由 维向量所组成的向量空间， 一般地， 为 那末，向量组 就称为向量　的一个 基， 称为向量空间 的维数，并称 为 维向量 空间． 定义3 设 是向量空间，如果 个向量 ，且满足 （1）只含有零向量的向量空间称为0维向量空间，因此它没有基． 说明 （3）若向量组 是向量空间 的一 个基，则 可表示为 （2）若把向量空间 看作向量组，那末 的基 就是向量组的最大无关组, 的维数就是向量组的 秩. 四、空间向量的坐标 定义4 　　那么，同一个向量在不同的基下的坐标有什 么关系呢？换句话说，随着基的改变，向量的坐 标如何改变呢？ 　　问题：在 维线性空间 中，任意 个线性 无关的向量都可以作为 的一组基．对于不同的 基，同一个向量的坐标是不同的． 称此公式为基变换公式． 由于 基变换公式 　 矩阵 称为由基 到基 的过 渡矩阵． 过渡矩阵 是可逆的． 若两个基满足关系式 则有坐标变换公式 或 证明 * 第三章 n维向量空间 n维向量的定义 n维向量的线性运算 向量组的线性相关性 向量组的极大线性无关组 向量空间 习题课 第一节 n维向量的定义 一、 n维向量的概念 二、 n维向量的表示方法 三、 向量空间 定义1 分量全为复数的向量称为复向量. 分量全为实数的向量称为实向量， 例如 n维实向量 n维复向量 第1个分量 第n个分量 第2个分量 　　 维向量写成一行，称为行向量，也就是行 矩阵，通常用　　　　　　等表示，如： 　　 维向量写成一列，称为列向量，也就是列 矩阵，通常用　　　　等表示，如： 注意 　　１．行向量和列向量总被看作是两个不同的 向量； 　　２．行向量和列向量都按照矩阵的运算法则 进行运算； 　　３．当没有明确说明是行向量还是列向量时， 都当作列向量； 叫做 维向量空间． 时， 维向量没有直观的几何形象． 三、向量空间 第二节 向量组的线性相关性 一、向量、向量组与矩阵 二、线性相关性的概念 三、线性相关性的判定 若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所组成的集合叫做向量组． 例如 向量组 , , …， 　称为矩阵A的行向量组． 反之，由有限个向量所组成的向量组可以构成一个矩阵. 线性方程组的向量表示 方程组与增广矩阵的列向量组之间一一对应． 定义１ 线性组合 二、线性相关性的概念 　　　　　　　　　　　　　　　　 向量 能 由向量组 线性表示． 定义２ 向量组 能由向量组 线性表示 向量组等价． 注：等价的向量组具有性质： （1）反身性：一个向量组与其自身等价； （2）对称性： （3）传递性： 注意 定义３ 则称向量组 是线性